3322微分方程于问题和本面值问题的变分形需 所2由 函以值的必是条件的正分形式( Euler- Lagrange方程)是样正分方程或偏正分方 而和变量函数的定解条件结约起来,就构成样正分方程或偏正分方程的定解题 对于函的条件以值题,其必是条件中待定参量( Lagrange乘子),而和齐次边 界条件结起来,就构成正分方程本征值 为一节将研究而的反题:如何将正分方程的定解题或本征值。题转化就函的以 值或条件以值_题,或者说,如何将正分方程的定解题或本征值题用变分语言表 述 例32.2写出常微分方程边值问题 d d+)=(),和0<x5a y(ao)=yo, y(a1)=y1 的泛要形式,即找出相应的泛函,它在边界条件(2)下取极值的必要条件即为(#) 既然泛函极值必要条件的微分形式就是方程(#),那么,这个方程一定来自 {[+0=0 现在的问题就是要把上式左端化成某一它分的变分,这对于该它分被它函数的第二、三项是很容 易实现的 q(a)y(a)8y(a) q(a)y(a)d f()by()dx=8/f(r)y(a)dr 已知函数q(a)和∫(x)是与叭(x)的变分无关的,因此,在变分计算中,而们都是样量 对于被它函数中的第一项,可以分"它分 dy sy(a)dr=p(z)dr (dy d( y) dr dr 25/ma)(z 其中用到了8(x)=8()=0.把上面的结果合起来,就得到 {[ (a)=+q(a)y(a)-f(r)5 8y(r)dr 2p(z)(dz)-g(zy()+f(a)y(Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 5 ☞ §32.2 ❭❪❫❴❵❛❜❝❞❡❢✣❜❝✚❣❪❤✐ ❂ ➈ P ❃❄❶❥✽ ÜÝ❶❦❧➋ ➓ (Euler–Lagrange ♠♥) ➍❳❦❧♠♥♦♣❦❧♠♥✶ qr➅➆➈➉❶▼sÜÝt ❍✉↔✶→✈✇❳❦❧♠♥♦♣❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆① ②③❂ ➈❶ ÜÝ❃❄ ❅ ❆ ✶④❥✽ ÜÝ ⑤⑥⑦⑧▼⑨➆ (Lagrange âã) ✶ qr⑩❶❷ ❸ ÜÝt ❍✉↔✶→✈✇❦❧♠♥❹❺❄ ❅ ❆✲ ✿❀ ❻❼❽ ❾q❶❿ ❅ ❆➀Ï❯❼❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆ ♦❹❺❄ ❅ ❆➁➂❩❂ ➈❶ ❃ ❄♦ÜÝ❃❄ ❅ ❆ ✶♦➃➄✶Ï❯❼❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆ ♦❹❺❄ ❅ ❆➅➅❧➆➇➈ ➉✲ ó 32.2 ❆ ❘ ➦ ⑤⑥êëç ✯✰✱ d dx  p(x) dy dx  + q(x)y(x) = f(x), x0 < x < x1, (#) y(x0) = y0, y(x1) = y1 (z) ✭æ✫✇♣✶❋➊ ❘ ñò✭æ✫✶✷●çè✻✼ (z) ★ ✸ ✮✯✭✹✺✻✼❋ ✿ (#) ✲ ✡ ➋ ❙ æ✫✮✯✹✺✻✼✭⑤⑥✇♣❩✽êë (#) ✶➌➍✶ ❑❛êë✧➻ ➫ ➎ Z x1 x0  d dx  p(x) dy dx  + q(x)y(x) − f(x)  δy(x) dx = 0. å ● ✭✰✱❩✽✺➏ ❖ ♣➐➑❭ ❇➒ ✧ ✷ ⑥✭➷⑥✶ ❑ ❴❵➓✷⑥➔ ✷ ✫✬✭✙ ✵ ì→➣✽↔ ➮ ➱➢å✭ ✶ Z x1 x0 q(x)y(x)δy(x)dx = 1 2 δ Z x1 x0 q(x)y 2 (x)dx, Z x1 x0 f(x)δy(x)dx =δ Z x1 x0 f(x)y(x)dx. ↕➙ ➈➉ q(x) r f(x) ➍➛ y(x) ❶➅❧➜ ➝❶ ✶ ❱❲ ✶ ➞➅❧➟➠ ⑤✶ q➡➢➍❳➆✲ ❴❵➔ ✷ ✫✬ ❲ ✭✙✧➣ ✶ ❅ ❃ ⑥➤ ✷ ⑥ ✶ Z x1 x0 d dx  p(x) dy dx  δy(x) dx = p(x) dy dx δy(x)     x1 x0 − Z x1 x0 p(x) dy dx d(δy) dx dx = − Z x1 x0 p(x) dy dx δ  dy dx  dx = − 1 2 δ Z x1 x0 p(x)  dy dx 2 dx, ➥ ❲➤❮✛ δy(x)   x0 = δy(x)   x1 = 0 ✲➏ ❖❢✭❜❝➦✤✥➫✶❩ ✍ ❮ Z x1 x0  d dx  p(x) dy dx  + q(x)y(x) − f(x)  δy(x) dx = −δ Z x1 x0 ( 1 2 " p(x)  dy dx 2 − q(x)y 2 (x) # + f(x)y(x) ) dx