则上式等价于 a1x1+a12 a21x1+a2 0 an,x,+a,x,+…+ax.=0 方程组称为n×s的齐次线性方程组。其矩阵形式Ax=θ,其中系数矩阵 A ni a 强调,矩阵A(或齐次线性方程组)与向量组a1a2a,的对应关系是 A=(ax1a2…a,)。有了这种对应,判别一个向量组是否线性相关可通过判别齐次线 性方程组是否有非零解得到:这便是下列的定理 定理4n维向量组a12a2,…,a,线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解 下面是方程组有非零解的一个充分条件。 定理3.5若n<S,则齐次线性方程组必有非零解 证明在方程组最后添加n-s个方程,得等价的方程组 a21x1+a2x2 xx2=0 anx1+an2x2+…+anx2=0 0 0·x,+…+0·x。=0 0 显然这一方程组的系数行列式等于零。由定理1.6,方程组有非零解 例9判别向量组的线性相关性49 则上式等价于        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n ns s s s s s a x a x a x a x a x a x a x a x a x     , （1） 方程组称为 n s 的齐次线性方程组。其矩阵形式 A x =  ， 其中 系数矩阵               = n n ns s s a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 ，x               = s x x x  2 1 ， 强调，矩阵 A （或齐次线性方程组）与向量组    s , , , 1 2  的对应关系是 ( ) A = 1 2  s 。有了这种对应，判别一个向量组是否线性相关可通过判别齐次线 性方程组是否有非零解得到：这便是下列的定理。 定理 4 n 维向量组    s , , , 1 2  线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解。 下面是方程组有非零解的一个充分条件。 定理 3.5 若 n  s ，则齐次线性方程组必有非零解。 证明 在方程组最后添加 n − s 个方程，得等价的方程组             +  + +  =  +  + +  = + + + = + + + = + + + = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s n n ns s s s s s x x x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x        , 显然这一方程组的系数行列式等于零。由定理 1.6，方程组有非零解。 ■ 例 9 判别向量组的线性相关性