2x1+x,-2x3=0 解对应的方程组: +5x2=0 有一组非零解{x2=4。线性相关。 方程组的非零解有无穷多组:对任何x3(称之为方程组的自由变量,也可以选x1或x 作为自由变量。在第五章中我们会看到,方程组的自由变量个数是一定数)的一个值,都可 以得到方程组的一组非零解。 把定理应用到线性相关性上去,便是下列的推论 推论5设n维向量组(D):a12a2,…a,若n<s,则向量组(I)线性相关 推论说得是:向量组中的向量个数超过向量维数时,该向量组一定线性相关。见上例 下面考察向量组在添加(或减少)一个分量后组成的向量组之间的线性相关性。设n维 向量组(1):a1a2…a,其分量形式见前述。现在每个向量a1上添加一个分量,构成n+1 维的向量组(I)a1,a2…a 月+1)j 向量组(Ⅲ)a2a2…,a,的线性相关性取决于(n+1)×S齐次线性方程组是否有非零解, a1x1+a12x2+…+a1x3=0 (2) anx,+an,x2+.+ansx,=0 7(n+x1+a(n+n2x2+…+a(mnx2=0 如此向量组(I)与向量组(I1)的线性相关性可以通过对应方程组的解之间的关系来判别。50        − =         − =         = 5 2 , 1 1 , 1 2 1 2 3 解 对应的方程组：    − + = + − = 5 0 2 2 0 1 2 3 1 2 3 x x x x x x 有一组非零解      = = = − 1 4 1 3 2 1 x x x 。 线性相关。 方程组的非零解有无穷多组；对任何 3 x （称之为方程组的自由变量，也可以选 1 x 或 2 x 作为自由变量。在第五章中我们会看到，方程组的自由变量个数是一定数）的一个值，都可 以得到方程组的一组非零解。 把定理应用到线性相关性上去，便是下列的推论。 推论 5 设 n 维向量组（I）：   s , , , 1 2  ， 若 n  s ，则向量组（I）线性相关。 推论说得是：向量组中的向量个数超过向量维数时，该向量组一定线性相关。见上例。 下面考察向量组在添加（或减少）一个分量后组成的向量组之间的线性相关性。设 n 维 向量组（I）：   s , , , 1 2  ，其分量形式见前述。现在每个向量  j 上添加一个分量，构成 n +1 维的向量组（II）   s , , , 1 2  ， j s a a a n j nj j j , 1, , ( 1) 1   =               = +  。 向量组（II）   s , , , 1 2  的线性相关性取决于 (n +1)  s 齐次线性方程组是否有非零解，        + + + = + + + = + + + = + + + 0 0 0 ( 1)1 1 ( 1)2 2 ( 1) 1 1 2 2 11 1 12 2 1 n n n s s n n ns s s s a x a x a x a x a x a x a x a x a x     . （2） 如此向量组（I）与向量组（II）的线性相关性可以通过对应方程组的解之间的关系来判别