§19.1 Laplace变换 第2页 §19.1 Laplace变换 Laplace变换可用于求解含时间的偏微分方程定解问题.变换后,自变量的个数比原来减 少一个,例如,原来是x和两个自变量的偏微分方程定解问题,变换后就只需求解常微分方 程(自变量为x)的定解问题.一般说来,后者总比较容易求解。这样求得的是原始的定解问题的 解的象函数,还必须反演,才能得到原始问题的解. 例1求无界杆的热传导问题 ouan2sf(x,t),-∞<x<∞,t>0; 0, <T< 的解 解①作 Laplace变换.令 u(a, t)=U(, p) u(a, t) p da 利用初始条件,有 Ot =PU(E,p) 把变换后的象函数只看成是x的函数,p是参数,所以 a2u. d2U(a, p) 微商运算就是一元函数的微商.再进一步令 f(r, t)=.F(r, p), 这样,在经过 Laplace变换后,定解问题就变成 U(a, p)-kdU(a, p) dx2 F(a, p) 利用例11.11的结果,可以得到 U(x,p)=1-1 2√J 再根据 Laplace变换的反演公式(见例10.7) exp P 以及卷积定理(见10.3节),就能够最后得到 x u(r, t) (x-x)21f dx∞甲-t-7v ①在这种无界区间的定解问题中,往往并不明确列出边界条件,实际上,无界区间,只是一个物理上的抽象 它只是表明在所考察的限度(时间,精度,……)内,两端的影响可以忽略.因此,如果要完整地列出定解问题的 则还应当有边界条件§19.1 LaplaceC† 1 2  §19.1 LaplaceC† LaplaceC†Œ^u¦)¹žm ‡©§½)¯K©C†￾§gCþ‡ê'5~ ‡©~X§5´xÚtü‡gCþ ‡©§½)¯K§C†￾ҐI¦)~‡© §(gCþx)½)¯K©„`5§￾öo'N´¦)©ù¦´©½)¯K )¼ê§„7L‡ü§âU©¯K)© ~1 ¦Ã.\9D¯K ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), − ∞ < x < ∞, t > 0; u ¯ ¯ t=0 = 0, − ∞ < x < ∞ )© )  ŠLaplaceC†©- u(x, t) ; U(x, p) = Z ∞ 0 u(x, t)e−ptdt, |^Щ^‡§k ∂u ∂t ; pU(x, p). rC†￾¼êw¤´x¼ê§p´ëꧤ± ∂ 2u ∂x2 ; d 2U(x, p) dx2 , ‡û$ŽÒ´¼ê‡û©2?Ú- f(x, t) ; F(x, p), ù§3²LLaplaceC†￾§½)¯KÒC¤ pU(x, p) − κ d 2U(x, p) dx2 = F(x, p). |^~11.11(J§Œ± U(x, p) = 1 2 1 √κp Z ∞ −∞ F(x 0 , p) exp ½ − r p κ |x − x 0 | ¾ dx 0 . 2ŠâLaplaceC†‡üúª(„~10.7) 1 √p e −α √p : 1 √ πt exp ½ − α 2 4t ¾ ±9òȽn(„10.3!)§ÒU ￾ u(x, t) = 1 2 √ κπ Z ∞ −∞ dx 0 Z t 0 exp ½ − (x − x 0 ) 2 4κ(t − τ ) ¾ f(x 0 , τ ) √ t − τ dτ. 3ù«Ã.«m½)¯K¥§ ¿Ø²(Ñ>.^‡©¢Sþ§Ã.«m§´‡Ônþħ §´L²3¤ Ý(žm§°Ý§· · · )S§üàKŒ±Ñ©Ïd§XJ‡/ѽ)¯K {§K„Ak>.^‡ u ¯ ¯ x→±∞ → 0.