§19.1 Laplace变换 第3页 用 Laplace变换求解偏微分方程定解问题題,除了可以减少自变量的数目以外,某 些已知函数的象函数(例如方程的非齐次项,它的形式可能很复杂)甚至都不必具 体求出,在求反演时只需应用卷积定理即可 例2用 Laplace变换求解无界弦的波动问题 0; o(a), at lt (x}∞<x<∞. 解设在 Laplace变换之下, u(r, t)=U(a, p), 于是,原来的定解问题就化为 2d-U(, p) d po(r)+v(a) 根据例11.1的结果,可以求得此方程的解(实际上还考虑了U(x,p)在x→土∞的行为) U(x,p)=1 Npo+∞(2p- 因为 6(t-a) 所以 u(x=2a/。)t-12-a 1 u(x)( l r-a'l p(a)(at-I-I'D v(a)n(at-lI-rD) 注意到 6--1)=0.|a-1≠ch 以及 (at-|x-x1) 0,|x-r r-r< at 就可以求出 x dr'+ a-)+a+叫]+m/叫)d§19.1 LaplaceC† 1 3  ^LaplaceC†¦) ‡©§½)¯K§Ø Œ±~gCþê8± §, ®¼ê¼ê(~X§šàg‘§§/ªŒUéE,) $ÑØ7ä N¦Ñ§3¦‡üžIA^òȽn=Œ© ~2 ^LaplaceC†¦)Ã.uÅįK ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, − ∞ < x < ∞, t > 0; u ¯ ¯ t=0 = φ(x), ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ t=0 = ψ(x)− ∞, < x < ∞. ) 3LaplaceC†ƒe§ u(x, t) ; U(x, p), u´§5½)¯KÒz p 2U(x, p) − a 2 d 2U(x, p) dx2 = pφ(x) + ψ(x). Šâ~11.11(J§Œ±¦d§)(¢Sþ„Ä U(x, p)3x → ±∞1) U(x, p) = 1 2ap Z ∞ −∞ h pφ(x 0 ) + ψ(x 0 ) i exp n − p a ¯ ¯ ¯x − x 0 ¯ ¯ ¯ o dx 0 = 1 2a Z ∞ −∞ h φ(x 0 ) + ψ(x 0 ) p i exp n − p a ¯ ¯ ¯x − x 0 ¯ ¯ ¯ o dx 0 . Ϗ e −αp ; δ(t − α), 1 p e −αp ; η(t − α), ¤± u(x, t) = 1 2a Z ∞ −∞ φ(x 0 ) δ ³ t − |x − x 0 | a ´ dx 0 + 1 2a Z ∞ −∞ ψ(x 0 ) η ³ t − |x − x 0 | a ´ dx 0 = 1 2 Z ∞ −∞ φ(x 0 ) δ(at − |x − x 0 |) dx 0 + 1 2a Z ∞ −∞ ψ(x 0 ) η(at − |x − x 0 |) dx 0 , 5¿ δ(at − |x − x 0 |) = ( 0, |x − x 0 | 6= at; ∞, |x − x 0 | = at ±9 η(at − |x − x 0 |) = ( 0, |x − x 0 | > at; 1, |x − x 0 | < at, Ҍ±¦Ñ u(x, t) = 1 2 Z ∞ −∞ φ(x 0 )δ ³ t − |x − x 0 | a ´ dx 0 + 1 2a Z x+at x−at ψ(x 0 )dx 0 = 1 2 h φ(x − at) + φ(x + at) i + 1 2a Z x+at x−at ψ(x 0 )dx 0 .