银川能源学院《高签激学》救集 第一童函数、极限与连线 数列{xn收敛a.记为mxn=a.如果数列没有极限，就说数列是发散的. 例如 m希=，名=0，m+ n-→on 而{2，{(-1+}，是发散的. 对无限接近的刻划： xn无限接近于a等价于xm一a无限接近于O, 极限的精确定义： 定义如果数列{xm}与常a有下列关系：对于任意给定的正数ε（不论它多 么小)，总存在正整数N,使得对于n>N时的一切xm,不等式 kxn-a<s 都成立，则称常数a是数列{xm}的极限，或者称数列{xn}收敛于a,记为 limx=a或xm→a(n-→oo) 11-00 如果数列没有极限，就说数列是发散的。 例1，证明mn+y=. n→on 分桥：k一4护 n 对于Hc>0,要使km-1k<6,只要<e,即n>1 证明：因为Ye>0,3N=[∈N,当>N时，有 k,-非-y-非1<8， n n 所以m+y=l. n 例2证明一=0， 分标：k川动 对于V6>0,要使k-0水8，只要<，即n心l 证明：因为Ve>0,3N=-∈N,当>N时，有 k-0a, 1 (n+1)2 所以中=0 例3.设gK1,证明等比数列 1,9,g,…,g1,… 的极限是0. 第10页银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 10 页 数列{xn}收敛 a  记为 xn a n   lim  如果数列没有极限 就说数列是发散的 例如 1 1 lim   n n n  0 2 1 lim   n n  1 ( 1) lim 1      n n n n  而{2 n } { (1)n  1 } 是发散的 对无限接近的刻划 xn 无限接近于 a 等价于|xna |无限接近于 0 极限的精确定义 定义 如果数列{xn}与常 a 有下列关系对于任意给定的正数 不论它多 么小 总存在正整数 N  使得对于 n >N 时的一切 xn 不等式 |xna |< 都成立 则称常数 a 是数列{xn}的极限 或者称数列{xn}收敛于 a  记为 xn a n   lim 或 xna (n) 如果数列没有极限 就说数列是发散的 例 1 证明 1 ( 1) lim 1      n n n n  分析 |xn1| n n n n 1 1| ( 1) | 1      . 对于 >0 要使|xn1|  只要  n 1  即  1 n  证明 因为 0,  ] 1 [  N  N   当 nN 时 有 |xn1|       n n n n 1 1| ( 1) | 1  所以 1 ( 1) lim 1      n n n n  例 2 证明 0 ( 1) ( 1) lim 2     n n n  分析 |xn0| 0| ( 1) ( 1) | 2     n n 1 1 ( 1) 1 2     n n  对于 0 要使|xn0|  只要  1 1 n  即 1 1    n  证明 因为 0  1] 1 [   N N   当 nN 时 有 |xn0|         1 1 ( 1) 1 0| ( 1) ( 1) | n 2 n 2 n n  所以 0 ( 1) ( 1) lim 2     n n n  例 3 设|q |<1 证明等比数列 1 q  q 2      q n1     的极限是 0