银川能源学院《高签数学》救案 第一童函数、极限与连然 分析：对于任意给定的ε>0，要使 k-01g"-1-0gl"-<s, 只要n>log6+1就可以了，故可取N=[log1q+。 证明：因为对于任意给定的ε>0，存在N=[logs+1], 当心N时，有 1g-1-0=gl-I<s, 所以limq-l=0. 四、数列极限的性质： 1、唯一性 定理1（极限的唯一性）数列{xm}不能收敛于两个不同的极限. 证明：假设同时有imx,=a及limx,=b,且a<b. 1→0 按极限的定义，对于ε=，4>0，存在充分大的正整数N, 2 使当>N时，同时有 k-水&=2及水8=会， 因此同时有 x,<9及x,>b+0, 2 2 这是不可能的.所以只能有a=b. 数列的有界性：对于数列{xm},如果存在着正数M,使得对一切x都满 足不等式xsM,则称数列{xm}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数 列{xm}是无界的 2、有界性 定理2（收敛数列的有界性）如果数列{xm}收敛，那么数列{xm}一定有界 证明：设数列{xn}收敛，且收敛于a,根据数列极限的定义，对于ε=1，存 在正整数N,使对于n>W时的一切xm,不等式xm一a水e=1都成立.于是当n>N 时，有 n=(xn -a)+al s]xn-al+lal<1+lal. 取M-max{l,r2·,kw,I+a,那么数列{x}中的一切xn都满足不等式 xnls M. 这就证明了数列{xm}是有界的. 定理3（收敛数列的保号性）如果数列{xn}收敛于a,且心0（或a<0),那么 存在正整数N,当心N时，有xw>O(或xm<0), 证明：就a0的情形证明.由数列极限的定义，对e=0,VN,当心N 第11页银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 11 页 分析 对于任意给定的 >0 要使 |x n0|| q n1 0||q| n1 <  只要 n>log|q| 1 就可以了 故可取 N[log|q|  1]。 证明 因为对于任意给定的 >0 存在 N[ log|q| 1] 当 nN 时 有 | q n1 0||q| n1 <  所以 lim 1 0  n n q  四、数列极限的性质 1、唯一性 定理 1(极限的唯一性) 数列{xn}不能收敛于两个不同的极限 证明 假设同时有 xn a n   lim 及 xn b n   lim  且 a<b 按极限的定义 对于 2 ba   >0 存在充分大的正整数 N 使当 n>N 时 同时有 |xna|< 2 ba   及|xnb|< 2 ba    因此同时有 2 b a xn   及 2 b a xn    这是不可能的 所以只能有 a=b 数列的有界性 对于数列xn}，如果存在着正数 M，使得对一切 xn 都满 足不等式 |xn|M则称数列{xn}是有界的 如果这样的正数 M 不存在，就说数 列{xn}是无界的 2、有界性 定理 2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 证明 设数列{xn}收敛 且收敛于 a 根据数列极限的定义 对于 1 存 在正整数N 使对于n>N 时的一切xn  不等式 |xna|< 1都成立 于是当n>N 时 有 |xn||(xn a)a| | xna||a|<1|a| 取Mmax{|x 1| |x 2|    |x N | 1| a |} 那么数列{xn}中的一切xn都满足不等式 |xn| M 这就证明了数列{xn}是有界的 定理 3（收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于 a, 且 a0(或 a0) 那么 存在正整数 N 当 nN 时 有 xn0(或 xn0) 证明：就a0的情形证明 由数列极限的定义 对 0 2   a  , NN  , 当nN