银川能源学院《高签激学》教宋 第一童函数、极限与连缕 时，有 k号， 从而 x>a330. 推论如果数列{xm}从某项起有xm≥0（或xm≤0），且数列{xm}收敛于a,那么 a20(或a≤0). 证明就xm≥0情形证明.设数列{xm}从N1项起，即当心N1时有xm≥0.现在 用反证法证明，或a<0,则由定理3知，N2eNt,当心N2时，有xn<0.取 N=max{N1,N2},当心N时，按假定有xm≥0，按定理3有xm<0,这引起矛盾. 所以必有a≥0. 子数列：在数列{xm}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先 后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xm}的子数列. 例如，数列{xn:1,-1,1,-1,,(-1)1.的一子数列为{x2m:-1,-1,-1, (-1)2+1. 3、子列 定理3（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{xm}收敛于α，那么它的 任一子数列也收敛，且极限也是a. 证明：设数列{x}是数列{xn}的任一子数列. 因为数列{xm}收敛于a,所以Hε>0，N∈Nt,当N时，有xm-dk. 取K=N,则当心K时，2k心K=V.于是|x-a水E. 这就证明了mxw=a. 讨论： 1.对于某一正数eo,如果存在正整数N,使得当心N时，有xw-a<eo.是 否有xm→a(n→0). 2.如果数列{xm}收敛，那么数列{xn}一定有界.发散的数列是否一定无 界？有界的数列是否收敛？ 3.数列的子数列如果发散，原数列是否发散？数列的两个子数列收敛， 但其极限不同，原数列的收敛性如何？发散的数列的子数列都发散吗？ 4.如何判断数列1，-1,1，-1，，-1)41，是发散的？ 第12页银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 12 页 时 有 2 | | a xn a   从而 0 2 2     a a xn a  推论 如果数列{xn}从某项起有 xn0(或 xn0) 且数列{xn}收敛于 a 那么 a0(或 a0). 证明 就 xn0 情形证明 设数列{xn}从 N1项起 即当 nN1时有 xn0 现在 用反证法证明 或 a0 则由定理 3 知 N 2N  , 当 n N 2 时 有 xn0 取 Nmax{ N1 N2 } 当 nN 时 按假定有 x n 0 按定理 3 有 x n0 这引起矛盾 所以必有 a 0. 子数列 在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先 后次序 这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列 例如 数列{xn} 1 1 1 1    (1)n1   的一子数列为{x2n} 1 1 1    (1)2n1    3、子列 定理 3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于 a 那么它的 任一子数列也收敛 且极限也是 a  证明 设数列 { } nk x 是数列{xn}的任一子数列 因为数列{xn}收敛于 a 所以 >0 NN +  当 nN 时 有|xna|  取 KN 则当 kK 时 nkkKN 于是| nk x a|  这就证明了 x a k n k   lim  讨论 1 对于某一正数 0 如果存在正整数 N 使得当 nN 时 有|xna| 0 是 否有 xn a (n ) 2 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 发散的数列是否一定无 界? 有界的数列是否收敛? 3 数列的子数列如果发散 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？ 4．如何判断数列 1 1 1 1    (1)N1    是发散的？