·630. 智能系统学报 第11卷 自发振动性与传统的机械振动类似，是通过采用互相 1.5 连接的单个或者多个非线性振荡器来模拟CPG产生 1.0 信号。其中非线性振荡器都有极限环，若极限环稳 定，系统中所有的轨迹都会接近该极限环，这样即使 系统中有小的扰动，系统也能回到稳定状态。 Hopf振荡器存在一个稳定的极限环，邻域中的 -0.5 轨线都螺旋趋近该极限环，具有很好的稳定性。与 -1.0 传统Hopf振荡器相比，本文采用改进的Hopf振荡 -1.5 -1.0-0.500.51.01.5 器作为机器人信号发生器，不仅可以实现幅值频率 可调，还可以独立调节支撑相与摆动相的相位关系， (b)x与y的相平面图 易于实现六足机器人腿部控制。其数学模型为 1.5 元=a(u-x2-y2)x-y (5) 1.0 y=B(u-x2-y2)y +wx (6) 0.5 0 w÷ (7) e-h+1 eha+1 -0.5 式中：振幅为瓜，频率为o,oum与wi分别表示 -1.0 支撑相摆动相 -1.5 支撑相和摆动相的频率，b是一个较大的正值，保证 0 5 10 15 20 振荡器的频率在支撑相与摆动相之间能取到不同的 s (c)输出y的振荡曲线 值：a>0B>0控制极限环收敛速度，其值越大，收敛 图4Hopf振荡器的极限环形式 越快：x和y是振荡器的2个状态变量，规定y的输 Fig.4 Hopf oscillator's limit cycle behavior 出作为振荡器信号的输出。 由图4(c)可见，该振荡器能自发地产生稳定的 令x=rcoso,y=rsino,y=ot,极坐标形式为 周期振荡信号，方便调节上升和下降时间，从而很好 (=r(μ-2)》 (8) 地模拟了生物系统中的CPG神经元。 (9=w 要实现六足机器人腿部之间的协调运动，需要 如图4(a)所示，当μ≤0时，系统有唯一的渐近稳 振荡器的相互耦合，保证运动的同步性与协调性。 定焦点(0,0)：当4≥0时，系统在u=0发生突变， (0,0)成为不稳定焦点，出现Hopf分岔，并且系统存在 耦合关系为 (9) 一个稳定的极限环r=瓜。利用μ>0时系统的极限环 =a(u-r)x:-@yi 特性实现CPG的振荡输出。图4(b)为不同初值下 方=B(u-)y:+w,x+6·∑4(10) Hopf振荡器状态变量x与y的相平面图，黑点表示初 △方=(y·cosf-x·sin68) (11) 值。从图中看出，无论初值大小，除(0，O)奇点外，Hopf 极限环都是稳定的。通过控制输出的上升和下降时 @= + e-br 1 ek 1 (12) 间，可以控制支撑相和摆动相的相位时间，这里取 将式(10)与式(6)对比，式(10)中加入了多项 ωg=3we=1,输出波形如图4(c)所示。 式δ·∑4,8表示振荡器之间耦合强度，（表示第 i个振荡器与第j个振荡器之间的相位差。取ω= ωwmg,收敛系数a=B=1,通过设定不同的相位差 0;,其值分别取0、/4、π/2、T,可以得到第1个和第 2个振荡器的输出曲线，如图5所示。 2.2环形CPG网络模型构建 六足机器人的CPG网络拓扑结构由6个CPG (a)μ变化的平衡点与极限环图 单元构成，每个CPG单元对应六足机器人的一条 腿，由Hopf振荡器组成。采用加权有向图构成网状自发振动性与传统的机械振动类似，是通过采用互相 连接的单个或者多个非线性振荡器来模拟 ＣＰＧ 产生 信号。 其中非线性振荡器都有极限环，若极限环稳 定，系统中所有的轨迹都会接近该极限环，这样即使 系统中有小的扰动，系统也能回到稳定状态。 Ｈｏｐｆ 振荡器存在一个稳定的极限环，邻域中的 轨线都螺旋趋近该极限环，具有很好的稳定性。 与 传统 Ｈｏｐｆ 振荡器相比，本文采用改进的 Ｈｏｐｆ 振荡 器作为机器人信号发生器，不仅可以实现幅值频率 可调，还可以独立调节支撑相与摆动相的相位关系， 易于实现六足机器人腿部控制。 其数学模型为 ｘ · ＝ α（μ － ｘ ２ － ｙ ２ ）ｘ － ωｙ （５） ｙ · ＝ β（μ － ｘ ２ － ｙ ２ ）ｙ ＋ ωｘ （６） ω ＝ ωｓｔａｎｃｅ ｅ －ｂｘ ＋ １ ＋ ωｓｗｉｎｇ ｅ ｂｘ ＋ １ （７） 式中：振幅为 μ ，频率为 ω，ωｓｔａｎｃｅ 与 ωｓｗｉｎｇ 分别表示 支撑相和摆动相的频率，ｂ 是一个较大的正值，保证 振荡器的频率在支撑相与摆动相之间能取到不同的 值；α＞０、β＞０ 控制极限环收敛速度，其值越大，收敛 越快；ｘ 和 ｙ 是振荡器的 ２ 个状态变量，规定 ｙ 的输 出作为振荡器信号的输出。 令 ｘ ＝ ｒｃｏｓφ，ｙ ＝ ｒｓｉｎφ，γ ＝ωｔ，极坐标形式为 ｒ · ＝ ｒ（μ － ｒ ２ ） φ · ＝ ω { （８） 如图 ４（ａ）所示，当 μ≤０ 时，系统有唯一的渐近稳 定焦点（０， ０）；当 μ≥０ 时，系统在 μ ＝ ０ 发生突变， （０， ０）成为不稳定焦点，出现 Ｈｏｐｆ 分岔，并且系统存在 一个稳定的极限环 ｒ ＝ μ。 利用 μ＞０ 时系统的极限环 特性实现 ＣＰＧ 的振荡输出。 图 ４（ｂ）为不同初值下 Ｈｏｐｆ 振荡器状态变量 ｘ 与 ｙ 的相平面图，黑点表示初 值。 从图中看出，无论初值大小，除（０， ０）奇点外，Ｈｏｐｆ 极限环都是稳定的。 通过控制输出的上升和下降时 间，可以控制支撑相和摆动相的相位时间，这里取 ωｓｗｉｎｇ ＝３ωｓｔａｎｃｅ，μ＝１，输出波形如图 ４（ｃ）所示。 （ａ）μ 变化的平衡点与极限环图 （ｂ）ｘ 与 ｙ 的相平面图 （ｃ） 输出 ｙ 的振荡曲线 图 ４ Ｈｏｐｆ 振荡器的极限环形式 Ｆｉｇ．４ Ｈｏｐｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ􀆳ｓ ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ 由图 ４（ｃ）可见，该振荡器能自发地产生稳定的 周期振荡信号，方便调节上升和下降时间，从而很好 地模拟了生物系统中的 ＣＰＧ 神经元。 要实现六足机器人腿部之间的协调运动，需要 振荡器的相互耦合，保证运动的同步性与协调性。 耦合关系为 ｘ · ｉ ＝ α（μ － ｒ ２ ｉ ）ｘｉ － ωｉ ｙｉ （９） ｙ · ｉ ＝ β（μ － ｒ ２ ｉ ）ｙｉ ＋ ωｉ ｘｉ ＋ δ·∑ ｊ Δｊｉ （１０） Δｊｉ ＝ （ｙｊ·ｃｏｓθ ｉ ｊ － ｘｊ·ｓｉｎθ ｉ ｊ ） （１１） ω ＝ ωｓｔａｎｃｅ ｅ －ｂｘ ＋ １ ＋ ωｓｗｉｎｇ ｅ ｂｘ ＋ １ （１２） 将式（１０）与式（６）对比，式（１０）中加入了多项 式 δ·∑ ｊ Δｊｉ ，δ 表示振荡器之间耦合强度，θ ｉ ｊ 表示第 ｉ 个振荡器与第 ｊ 个振荡器之间的相位差。 取 ωｓｔａｎｃｅ ＝ ωｓｗｉｎｇ，收敛系数 α ＝ β ＝ １，通过设定不同的相位差 θ １ ２ ，其值分别取 ０、π／ ４、π／ ２、π，可以得到第 １ 个和第 ２ 个振荡器的输出曲线，如图 ５ 所示。 ２．２ 环形 ＣＰＧ 网络模型构建 六足机器人的 ＣＰＧ 网络拓扑结构由 ６ 个 ＣＰＧ 单元构成，每个 ＣＰＧ 单元对应六足机器人的一条 腿，由 Ｈｏｐｆ 振荡器组成。 采用加权有向图构成网状 ·６３０· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷