当方程(10)及(11)中的性算符a是一个数时，在这种特 殊情况下，显然任意的右矢|P〉及左矢〈Q)都满足这些方程，只 要·与b都等于及就行.这样，一个数被当作辍性算符来看，它只 有一个本征值，而任意的右矢都是它的本征右失，任意的左矢都是 它的本征左矢，都属于这个唯一的本征值。 一个钱性算符α如不是实算符，关于它的本征值与本征矢量 的理論，在量子力学中沒有很多用处。因此，在理論的进一步发展 中，我們仅限于那些实後性算符.。用实後性算符来代楼α，則方 程(10)与(11)成为 |P〉=a|P), (12) (ole=ol. (13) 現在可以很快推出三个重要精果. ()本征值全部是实数.为証明满足方程(12)的a是实数，我 們用左矢〈P|左乘(12)式，得到 〈P|IP〉=a(P|P). 此时从方程(4)，用〈P|代〈B引，用实後性算符代a,我們看到 (P|P〉这个数一定是实数；又从56的(8)式，看到〈P{P〉一定 是不为零的实数.因而4是实数.同样地，用|2〉右乘(13)式， 我們就能証明b是实数. 假定我們有(12)式的一个解，我們作出共靶虚最的方程，它将 〈P|ξ=aP|, 这是由于：与a都是实的.这个共軛虚量的方程現在提供出(13) 式的一个解，即〈Q|=〈P|及b=a.因此，我們得出 ()联系于本征右矢的本征值，都同时是联系于本征左矢的 本征值. ()任意本征右矢的共軛虚量，都是属于同，本征值的本征 左矢，反之亦然。最后这一秸果，使我們能够合理地把相应于任意 本征右矢或其共軛虚量左矢的态，称之为实的力学变量：的一个 本征态. ·29·