数学物理方程的定解问题 数学物理方程:来自物理问题的多自变量函数满足的偏微分方程。是单自变量函数的常微分方程的推广。 这些自变量最常见的是:空间(三维坐标对应于三个变量x,y,z)时间t。从物理上看,数理方程大体分为三类 1.振动方程:如波动方程、 Helmholtz方程 2.输运方程:如扩散方程、热传导方程 稳态方程:如 Laplace方程、 Poisson方程 本章举例导出若干常见的数学物理方程,并对这些方程进行分类,讨论求解这些方程所需的条件。 91波动方程 先以杆杄的纵振动为例,讨论支配波动现象的一些物理规律。 Q细杆的纵振动方程 杆纵振动的物理定律 细杆沿杆长方向做微小振动,假设在垂直于杆的任意截面上各点振动状态相同,就退化一维问题。先熟悉一些概念。 ■位移:由于振动,在不振动时位于x的点,因振动偏离原平衡位置x,位于:x+u(x,D),其中u(x,t)称为位移。 (x,D:不做振动时位于x位置的质点在t时刻的位移 x+u(x, 1) x+dx+ux+dr, n) 相对伸长:考虑细杆上的一小段, 在不振动时这一小段的两端分别位于平衡位置x和x+dx,如上图红色所示, 因为振动,在t时刻两端分别位于x+l(x,n)与x+dx+x+dx,t),如上图蓝色所示 在t时刻这一小段的长度为:dl={x+dx+l(x+dx,)-[x+(x,)]=dx+l(x+dx,)-l(x,D 不振动时这一小段的长度为:dl={x+dxl-x=dx, 振动导致的伸长为:△l=dl-dl0=x+dx,1)-l(x, 振动导致的相对伸长为:△l以x+dxn)-x,nax0 因为杆的纵振动,导致原处于x的一小段杆的相对伸长为: 相对伸长 目例:设一细杆放于x轴,两端分别于:x=0和x=l 振动导致的杆在x=0端的相对伸长为:2(0,1),在x=l端的相对伸长为:2(,D)9 数学物理方程的定解问题 数学物理方程：来自物理问题的多自变量函数满足的偏微分方程。是单自变量函数的常微分方程的推广。 这些自变量最常见的是：空间（三维坐标对应于三个变量 x, y, z）时间 t。从物理上看，数理方程大体分为三类： 1. 振动方程：如 波动方程、Helmholtz 方程 2. 输运方程：如扩散方程、热传导方程 3. 稳态方程：如 Laplace方程、Poisson方程 本章举例导出若干常见的数学物理方程，并对这些方程进行分类，讨论求解这些方程所需的条件。 9.1 波动方程 先以杆的纵振动为例，讨论支配波动现象的一些物理规律。  细杆的纵振动方程 杆纵振动的物理定律 细杆沿杆长方向做微小振动，假设在垂直于杆的任意截面上各点振动状态相同，就退化一维问题。先熟悉一些概念。 ◼ 位移：由于振动，在不振动时位于 x 的点，因振动偏离原平衡位置 x，位于：x + u(x, t)，其中 u (x, t) 称为位移。 u(x, t) ：不做振动时位于 x 位置的质点在 t 时刻的位移 。 ◼ 相对伸长：考虑细杆上的一小段， x + u(x, t) x x + x x + x + u(x+x, t) 在不振动时这一小段的两端分别位于平衡位置 x 和 x + x，如上图红色所示 ， 因为振动 ，在 t 时刻两端分别位于 x + u(x, t) 与 x + x + u(x + x, t) ，如上图蓝色所示 。 在 t 时刻这一小段的长度为 ：l = [x + x + u(x + x, t)] - [x + u(x, t) ] = x + u(x + x, t) - u(x, t) 不振动时这一小段的长度为 ：l0 = [x + x] - x = x， 振动导致的伸长为 ：Δ l = l - l0 = u(x + x, t) - u(x, t) 振动导致的相对伸长为 ： Δ l l0 = u(x + x, t) - u(x, t) x = ∂ u(x, t) ∂ x = ux(x, t) 因为杆的纵振动 ，导致原处于 x 的一小段杆的相对伸长为 ： ux (x, t) —— 相对伸长 ☺ 例：设一细杆放于 x 轴，两端分别于：x = 0 和 x = l。 振动导致的杆在 x = 0 端的相对伸长为 ：ux(0, t)，在 x = l 端的相对伸长为 ：ux(l, t)