2 z09anb ■ Hooke定律 在弹性限度内,应力(单位截面积的力)与应变(相对伸长)成正比,比例系数称为杨氏模量Y =Yux(x,t),其中:F为作用力,以拉力为正,S为截面面积 Y为杨氏模量,Y总大于0,这是由热力学稳定性条件所决定的 此式意义类似于牛顿第二定律:若已知某处的相对伸长为:a2(x,D),则杆在该处必受到YS2(x,D)的拉力 反之,若已知细杆在某处受到的拉力为:F,则在该处细杆必有:F的相对伸长D 目例1:细杆置于x轴,x=/为自由端,试写出在x=端位移u(x,D)l=应满足的条件 解:x=1为自由端,不受力,F=0,从而a(D=F=0. 例2:细杆置于x轴,x=固定,x=0端与一弹簧相连,如图 当不振动时弹簧处于平衡长度,求振动时杆两端位移u(x,n)所应满足的条件(边界条件)。 因为x=端固定,故在杆右端有:(,1)=0 在x=0端,当杆位移u(0,0时,弹簧被拉长(0,t), 弹簧对杆的左端有拉力kun(0,D) (注意这时向左才是拉力,沿负x轴方向是拉力,沿负x轴方向取为正。) 根据 Hooke定律:拉力=YS×相对伸长=knO,D)=YSa(0,1), 故在杆左端位移满足:a2(0,)-=a(0,t)=0 目例3:细杆置于x轴,x=0固定,x=l端与一弹簧相连,如图, 当不振动时弹簧处于平衡长度,求振动时杆两端位移l(x,)所应满足的条件 因为x=0端固定,故在杆左端有:a(0,)=0。 在x=l端,当杆位移u(l,D时,弹簧被压缩,D),弹簧对杆的左端有压力k(,D), 也就是说,弹簧对杆右端有拉力:-ku(l,t (注意这时向右才是拉力,沿正x轴方向是拉力,沿负正x轴方向取为正。) 根据 Hooke定律:拉力=YSx相对伸长 ku(l, n=YSu(l, t) 故在杆右端有:u3(,1)+—(,1)=0(注意与上一题x=0端的条件差一个负号) 目例4:细杆垂直放置,x=0端固定,x=l端与一质量为M的重物相连,如图 忽略细杆的重量,求杆两端位移u(x,)各自所应满足的关系。◼ Hooke 定律 在弹性限度内 ，应力 （单位截面积的力 ） 与应变 （相对伸长 ） 成正比，比例系数称为杨氏模量 Y F S = Y ux(x, t)， 其中：F 为作用力 ，以拉力为正 ，S 为截面面积 ， Y 为杨氏模量 ，Y 总大于 0，这是由热力学稳定性条件所决定的 。 此式意义类似于牛顿第二定律 ：若已知某处的相对伸长为 ：ux(x, t)，则杆在该处必受到 Y S ux(x, t) 的拉力。 反之，若已知细杆在某处受到的拉力为 ：F，则在该处细杆必有 ： F Y S 的相对伸长 ux(x, t)。 ☺ 例 1：细杆置于 x 轴， x = l 为自由端，试写出在 x = l 端位移 u(x, t)x=l 应满足的条件。 解： x = l 为自由端 ，不受力，F = 0，从而 ux(l, t) = F Y S = 0。 ☺ 例 2：细杆置于 x 轴， x = l 固定， x = 0 端与一弹簧相连，如图， 当不振动时弹簧处于平衡长度 ，求振动时杆两端位移 u(x, t) 所应满足的条件 （边界条件 ）。 解： 0 x l 因为 x = l 端固定，故在杆右端有 ：u(l, t) = 0。 在 x = 0 端，当杆位移 u(0, t) 时，弹簧被拉长 u(0, t)， 弹簧对杆的左端有 拉力 k u(0, t)， （注意这时向左才是拉力 ，沿负 x 轴方向是拉力 ，沿负 x 轴方向取为正 。） 根据Hooke定律 ：拉力 = Y S ×相对伸长 ⟹ k u(0, t) = Y S ux(0, t)， 故在杆左端位移满足 ：ux(0, t) - k Y S u(0, t) = 0 ☺ 例 3：细杆置于 x 轴， x = 0 固定， x = l 端与一弹簧相连，如图， 当不振动时弹簧处于平衡长度 ，求振动时杆两端位移 u(x, t) 所应满足的条件 。 解： 0 x l 因为 x = 0 端固定，故在杆左端有 ：u(0, t) = 0。 在 x = l 端，当杆位移 u(l, t) 时，弹簧被压缩 u(l, t)，弹簧对杆的左端有 压力 k u(l, t)， 也就是说，弹簧对杆右端有 拉力： -k u(l, t) （注意这时向右才是拉力 ，沿正 x 轴方向是拉力 ，沿负正 x 轴方向取为正 。） 根据Hooke定律 ：拉力 = Y S ×相对伸长 ⟹ -k u(l, t) = Y S ux(l, t)， 故在杆右端有 ：ux(l, t) + k Y S u(l, t) = 0 （注意与上一题 x = 0 端的条件差一个负号 ） ☺ 例 4：细杆垂直放置， x = 0 端固定， x = l 端与一质量为 M 的重物相连，如图， 忽略细杆的重量 ，求杆两端位移 u(x, t) 各自所应满足的关系 。 2 z09a.nb