z09anb 3 杆上端x=0处,位移(0,1)=0 杆下端x=l处的位移为:a(,D), 杆与重物相连,故重物的加速度a=u(,0 重物所受到的力:重力Mg,杆对重物向上的拉力T, 故:Mg-T=Ma=Mun(x,n) 杆对重物向上的拉力为:T=Mg-Mun(,1), 反过来,重物对杆下端的向下拉力也为T 即,杆的下端受到的拉力(沿正x方向)为T=Mg-Ml(,1 据 Hooke定律,T=YSu(,D 杆下端的位移满足:Mg-Mun(l,D)=YSa(x,) 杆的纵振动方程 均匀细杆的微小纵振动,微小振动,杆的截面积视为常数S。 考虑从x到x+dx的一小段杆,如图 这一小段杆的质量:dm=pSdx,加速度:m(x,1),力F=? 在右端x+dx,杆的相对伸长为:a2(x+dx,D):在左端x,杆的相对伸长为:a(x,1 据 Hooke定律,这一小段杆的右端必受到YS(x+dx,n)的拉力,注意右端拉力是向右,沿+x方向 左端必受到YSa(x,1)的拉力,左端拉力沿-x方向。 这一小段所受的合力:F=YSu1(x+dx,)-YSu(r,t)=(dm)un(x,D=pSun(x,D)dx 上式两边除以dx即得:H(x+4-a(x,n =pSun(x,,令a=Y/p 从而一均匀细杆的纵振动方程为:Yua(x,0=pax,0→|m(,0-a2(,0=0 若这一小段杆的加速度取为:un(x+dx,1),导出的纵振动方程相同吗? Q弦的横振动方程 条完全柔软的均匀细弦,沿水平方向拉紧,求其沿垂直方向的微小振动。 (a)绷紧的柔软细弦,张力沿弦的切向 几个假设:{()振动微小,弦与水平x轴的夹角很小 (c)弦单位长度所受的外力垂直于x方向 (d弦很轻,略去重力,重力远小于拉力 考虑从x到x+dx的一小段弦,如图 显然不振动时整段弦在x轴,振动时位移u(x,1)给出t时刻弦所在的曲线 根据导数的几何意义:a(r,1)为弦在x处的切向与x轴的夹角的正切:tga1=l1(x,D 由于柔软弦绷紧,仅受拉力,故这一小段弦两端受力方向如上图所示 沿垂直方向振动 此有:{20s2-n1o801=0 T2 sina- Ti sin al +f(r)dx=(dm)u (x, n) 其中∫为弦单位长度所受的外力 由假设b),cosa2≈ cos ar1≈1,sina2≈tga2=a(x+dx,D,sina1≈tgan=a(x,D) 因而上两个方程退化为:{Tx+dx,0-n4x,0+f(x)dx=dx)mn(x,0),为弦的线密度 令a=√Y/A,有:ut(,0-a2ma(x,0=f(x),若弦不受外力,则 ln(x, 1-a ux (x, 0= 杆的纵振动和弦的横振动满足的偏微分方程相同。更一般地,在三维空间中,方程为以下形式解： x Mg 0 l 杆上端 x = 0 处，位移 u(0, t) = 0 杆下端 x = l 处的位移为 ：u(l, t)， 杆与重物相连 ，故重物的加速度 a = utt(l, t) 重物所受到的力 ：重力 M g，杆对重物向上的拉力 T， 故：M g - T = M a = M utt(x, t) 杆对重物向上的拉力为 ：T = M g - M utt(l, t)， 反过来，重物对杆下端的向下拉力也为 T 即，杆的下端受到的 拉力 （沿正 x 方向） 为 T = M g - M utt(l, t) 据Hooke定律 ，T = Y S ux(l, t) ⟹ 杆下端的位移满足 ：M g - M utt(l, t) = Y S ux (x, t) 杆的纵振动方程 均匀细杆的微小纵振动，微小振动，杆的截面积视为常数 S。 考虑从 x 到 x + x 的一小段杆 ，如图 x x + x 这一小段杆的质量 ：m = ρ S x, 加速度：utt (x, t), 力 F =？ 在右端 x + x, 杆的相对伸长为 ：ux(x + x, t)；在左端 x, 杆的相对伸长为 ：ux(x, t) 据 Hooke 定律，这一小段杆的右端必受到 Y S ux(x + x, t) 的拉力，注意右端拉力是向右 ，沿 + x 方向 左端必受到 Y S ux(x, t) 的拉力，左端拉力沿 - x 方向。 这一小段所受的合力 ：F = Y S ux(x + x, t) - Y S ux(x, t) = (m) utt(x, t) = ρ S utt(x, t) x 上式两边除以 x 即得：Y S [ux (x + x, t) - ux(x, t)] x = ρ S utt(x, t), 令 a = Y/ρ 从而一均匀细杆的纵振动方程为 ：Y uxx(x, t) = ρ utt(x, t) ⟹ utt (x, t) - a2 uxx (x, t) = 0  若这一小段杆的加速度取为：utt(x + x, t)，导出的纵振动方程相同吗？  弦的横振动方程 一条完全柔软的均匀细弦，沿水平方向拉紧，求其沿垂直方向的微小振动。 几个假设 ： (a) 绷紧的柔软细弦 ，张力沿弦的切向 (b) 振动微小 ，弦与水平 x 轴的夹角很小 (c) 弦单位长度所受的外力垂直于 x 方向 (d) 弦很轻，略去重力 ，重力远小于拉力 考虑从 x 到 x + x 的一小段弦 ，如图 T1 x + x x T2 x f 显然不振动时整段弦在 x 轴，振动时位移 u(x, t) 给出 t 时刻弦所在的曲线 根据导数的几何意义 ： ux(x, t) 为弦在 x 处的切向与 x 轴的夹角的正切 ：tg α1 = ux(x, t) 由于柔软弦绷紧 ，仅受拉力，故这一小段弦两端受力方向如上图所示 弦沿垂直方向振动 ，因此有： T2 cos α2 - T1 cos α1 = 0 T2 sin α2 - T1 sin α1 + f (x) x = (m) utt(x, t) 其中 f 为弦单位长度所受的外力 。 由假设 (b)，cos α2 ≈ cos α1 ≈ 1, sin α2 ≈ tg α2 = ux(x + x, t), sin α1 ≈ tg α1 = ux(x, t) 因而上两个方程退化为 ： T2 = T1 = T T [ux(x + x, t) - ux(x, t)] + f (x) x = (λ x) utt(x, t) , λ 为弦的线密度 令 a = Y/λ ，有： utt(x, t) - a2 uxx(x, t) = f (x)，若弦不受外力 ，则： utt (x, t) - a2 uxx (x, t) = 0 杆的纵振动和弦的横振动满足的偏微分方程相同。更一般地，在三维空间中，方程为以下形式 z09a.nb 3