z09a. nb a2 vou=0 上式称为波动方程,其中V2称为 Laplace算符,v2=y 小+02+91是Lc算符在直角坐标系下的形式 Q例题 例5:弹性细杆垂直放置,x=0端固定,x=/端与一质量为M的重物相连,如图 已知杆振动时受到的空气阻力与其速度成正比,求杆的振动方程 0杆上端x=0,杆下端x=l。 考虑从x到x+dx的一小段,这一小段杆所受到的外力包括 重力: sagd:空气阻力:-yu(x,D)dx 下端的拉力:YSax(x+dx,1):上端的拉力:YSx(x,D 振动方程: sagd-yu(x,D)dx+YSu(x+dx,D)-l2(x,D)]=Aan(xr,D)dx 整理得:un(x,t)+Buf(x,D)-a2u(x,D=g 目例6:细绳一端固定在以角速度转动的竖直轴上,因惯性离心力的作用,细绳的平衡位置是水平线。 若某时刻细绳上的点有竖直方向的微小偏移,求细绳相对于水平方向的横振动方程。 解:设绳子固定端为x=0,另一端为x=l,并设细绳的线质量密度为A 考虑从x到x+dx的一小段绳,如图 水平方向有:T(x)cosa1-Tx+dx)cosa2= adx o2x向心力与向心加速度 dr x .2u2x2. dx 在x=端,自由端不受力7==0=T=-u2(P-x) 竖直方向有:T(x+dx)sina2-T(x)sina1=dxu(x,D,利用sina1=tga1=l(x,D,sina2=tga2=l2(x+dx,) A[T(x)u(r, n) 1 得振动方程:ul(x,1)=-(7(x+dx)a(x+dx,1)-T(x)an(x,D) llr(x, 即 )=-c2 目例7:一长为l的匀质柔软重绳,上端固定于一竖直轴上,绳子与轴以角速度ω旋转 求重绳在重力作用下相对于竖直轴的横振动方程。(略去 Coriolis力:-2m动x讠。) 解:设绳子固定端(上端)为x=0,下端为x=l 在竖直方向:T(x+dx)cosa2-T(x)cosa1=Adxg dT==T=Agx+c,在x=/端,自由端不受力 =0=T=Ag(-x) 水平方向有:T(x+dx)sina-(x) sIn al+ax,D w-= adx u(x, o 振动方程:un(x,D)=g a[(-x)u,(x, n) +ux, Da∂2 u ∂ t 2 - a2 ∇2 u = 0 ∇2 ≡ ∂2 ∂ x2 + ∂2 ∂ y2 + ∂2 ∂ z2 (1.1) 上式称为波动方程，其中 ∇2 称为Laplace算符，∇2 ≡ ∂2 ∂ x2 + ∂2 ∂ y2 + ∂2 ∂ z2 是Laplace算符在直角坐标系下的形式。  例题 ☺ 例 5：弹性细杆垂直放置， x = 0 端固定， x = l 端与一质量为 M 的重物相连，如图， 已知杆振动时受到的空气阻力与其速度成正比 ，求杆的振动方程 。 解： x Mg 0 l 杆上端 x = 0，杆下端 x = l。 考虑从 x 到 x + x 的一小段，这一小段杆所受到的外力包括 ： 重力：S λ g x ；空气阻力：-γ ut(x, t) x； 下端的拉力 ：Y S ux(x + x, t)；上端的拉力 ：Y S ux (x, t)； 振动方程 ：S λ g x - γ ut(x, t) x + Y S [ux(x + x, t) - ux(x, t)] = λ utt(x, t) x 整理得：utt(x, t) + β ut(x, t) - a2 uxx(x, t) = g ☺ 例 6：细绳一端固定在以角速度 ω 转动的竖直轴上，因惯性离心力的作用，细绳的平衡位置是水平线。 若某时刻细绳上的点有竖直方向的微小偏移 ，求细绳相对于水平方向的横振动方程 。 解：设绳子固定端为 x = 0，另一端为 x = l，并设细绳的线质量密度为 λ 考虑从 x 到 x + x 的一小段绳 ，如图 T1 x + x x T2 x 水平方向有 ：T(x) cos α1 - T(x + x) cos α2 = λ x m ω2 x 向心力与向心加速度 。 T x = -λ ω2 x ⟹ T = - 1 2 λ ω2 x2 + c， 在 x = l 端，自由端不受力 T x=l = 0 ⟹ T = 1 2 λ ω2l 2 - x2 竖直方向有 ：T(x + x)sin α2 - T(x)sin α1 = λ x m utt(x, t) ，利用 sin α1 = tg α1 = ux(x, t), sin α2 = tg α2 = ux(x + x, t) 得振动方程 ： utt(x, t) = 1 λ x ( T(x + x) ux(x + x, t) - T(x) ux(x, t)) =  [T(x) ux(x, t)] λ x = 1 2 ω2 ∂ l 2 - x2 ux (x, t) ∂ x 即：utt(x, t) = 1 2 ω2 ∂ l 2 - x2 ux (x, t) ∂ x ☺ 例 7：一长为 l 的匀质柔软重绳，上端固定于一竖直轴上，绳子与轴以角速度 ω 旋转。 求重绳在重力作用下相对于竖直轴的横振动方程 。（略去Coriolis力：-2 m ω  v 。） 解：设绳子固定端 （上端） 为 x = 0，下端为 x = l 在竖直方向 ：T(x + x) cos α2 - T(x) cos α1 = λ x m g T x = -λ g ⟹ T = λ g x + c，在 x = l 端，自由端不受力 T x=l = 0 ⟹ T = λ g (l - x) 水平方向有 ：T(x + x)sin α2 - T(x)sin α1 + u(x, t) λ x ω2 非惯性系中的离心力 = λ x m utt(x, t) 振动方程：utt(x, t) = g ∂ [(l - x) ux(x, t)] ∂ x + u(x, t) ω2 4 z09a.nb