例1.设函数f(x)在(a,b)内可导，且f'(x)≤M, 证明f(x)在(a,b)内有界. 证：取点x0∈(a,b),再取异于x0的点xe(a,b),对 ∫(x)在以o,x为端点的区间上用拉氏中值定理，得 f(x)-f(xo)=f'(5)x-x)(5界于x与x之间) f(x)=f(xo)+f()(x-x) ≤f(xo)+f'(5)x-xo ≤f(xo)+M(b-a)=K (定数) 可见对任意x∈(a,b),f(x)≤K,即得所证.例1. 设函数 在 内可导, 且 证明 在 内有界. 证: 取点 ( , ), x0  a b 再取异于 0 x 的点 x(a,b), 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 f x − f x = f   x − x ( ) ( ) ( )( ) 0 0  f x = f x + f   x − x 0 0  f (x ) + f ( ) x − x ( ) ( )  f x0 + M b − a = K (定数) 可见对任意 x(a,b), f (x)  K , 即得所证