第六章一元微积分的应用 ∵.选择题 1.设x)在(-∞,+∞)内可导,且对任意x1,x2,x1>x2时,都有fx1)>fx2),则 (a)对任意x,f(x)>0(b)对任意xf"(x)≤0 (c)函数f(一x)单调增加 (d)函数f(一x)单调增加 解.(a)反例:f(x)=x3,有∫(0)=0;(b)显然错误.因为(x)≤0,函数单减;(c)反 例:f(x)=x3,f(-x)=-x3单调减少;排除(a,(b),(c)后,(d)为答案具体证明如下 令F(x)=-f(-x,x1>x2,-x1<-x2.所以F(x1)=-f-x1)>一f(-x2)=F(x2) 2.设x)在(-兀+可上连线,当a为何值时,F(a)=⊥U(x)- a cos nx dx的值为极小 值 (a)f(x)cos nxd f(x)cos ndx (d) f(x)cos ndx 解.F(a)=「Df(x)- a cosnx]2dx =a cos nxdx-2a f(x)cos nxdx+f(x)dx x2-2a,()cos ndx+,f(x为a的二次式 所以当a=1 f(x) cos ndx,F(a)有极小值 3.函数y=fx)具有下列特征 0x<0 f0)=1:f(O)=0,当x≠0时,f(x)>0;厂(x1>0x>D·则其图形 (a) 解.(b)为答案 4.设三次函数y=∫(x)=ax3+bx2+cx+d,若两个极值点及其对应的两个极值均为相 反数,则这个函数的图形是 (a)关于y轴对称(b)关于原点对称(c)关于直线y=x轴对称(d)以上均错 解.假设两个极值点为x=t及x=-t(t≠0),于是ft=-f(-t).所以 +br2+ct+d=at3-br2+ct-d,所以b+d=0 f(x)=3ax2+2bx+c=0的根为x=±t,所以b=0.于是d=0.所以 f∫(x)=ax3+cx 为奇函数,原点对称(b)为答案 5.曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围图形面积可表示为第六章 一元微积分的应用 一.  选择题 1.  设 f(x)在(－•, +•)内可导,  且对任意 x1, x2, x1 > x2 时,  都有 f(x1) > f(x2),  则 (a) 对任意 x,  f '( x) > 0 (b) 对任意 x,  f '( x) £ 0 (c) 函数 f(－x)单调增加 (d) 函数－f(－x)单调增加 解.  (a) 反例:  3 f (x ) = x  ,  有 f '( 0) = 0 ;  (b) 显然错误.  因为 f '( x) £ 0 ,  函数单减;  (c) 反 例:  3 f (x ) = x  ,  3 f (-x ) = -x  单调减少;  排除(a), (b), (c)后, (d)为答案.  具体证明如下:  令 F(x) =  －f(－x), x1 > x2,  －x1 <  －x2.  所以 F(x1) =－f(－x1) >  －f(－x2) = F(x2).  2.  设 f(x)在[－p,  +p]上连续,  当 a 为何值时, Ú - = - p p F a f x  a nx  dx  2  ( ) [ ( ) cos  ] 的值为极小 值.  (a) Ú - p p f ( x ) cos nxdx  (b) Ú- p p p f (x ) cos nxdx 1  (c) Ú- p p p f (x ) cos nxdx 2  (d) Ú- p p p f (x ) cos nxdx 2  1  解. Ú - = - p p F a f x  a nx  dx  2  ( ) [ ( ) cos  ] Ú - Ú - Ú - = - + p p p p p p a cos  nxdx  2a f (x ) cos nxdx  f (x )dx  2 2  2  Ú - Ú - = - + p p p p pa 2a f (x ) cos nxdx  f (x )dx  2  2  为 a 的二次式.  所以当 a = Ú- p p p f (x ) cos nxdx 1  , F(a)有极小值.  3.  函数 y = f(x)具有下列特征:  f(0) = 1;  f '( 0) = 0 ,  当 x ¹ 0 时,  f '( x) > 0 ; Ó Ì Ï > < 0  0  f ' ' (x ) 0 0 > < x  x ,  则其图形 (a) (b) (c) (d) 1  1  1 1  解. (b)为答案.  4.  设三次函数 y = f  x  = ax  + bx  + cx + d  3 2 ( ) ,  若两个极值点及其对应的两个极值均为相 反数,  则这个函数的图形是 (a) 关于 y 轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线 y = x 轴对称 (d) 以上均错 解.  假设两个极值点为 x = t 及 x =  －t (t ¹ 0),  于是 f(t) =－f(－t).  所以 at + bt  + ct + d = at  - bt  + ct - d 3 2 3 2 ,  所以 b + d = 0  ' ( ) 3  2  0  2 f  x  = ax  + bx + c = 的根为 x = ± t,  所以 b = 0.  于是 d = 0.  所以 f x  = ax  + cx 3 ( ) 为奇函数,  原点对称. (b)为答案.  5.  曲线 y = x(x - 1)( 2 - x) 与 x 轴所围图形面积可表示为