《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 §1.4具有某些特性的函数 授课章节：第一章实数集与函数一一§1.4具有某些特性的函数 教学目标：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语：深刻理解有界函数、单调函数的定义：理 解奇偶函数、周期函数的定义：会求一些简单周期函数的周期。 教学重点：函数的有界性、单调性. 教学难点：周期函数周期的计算、验证 教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成。 教学过程： 引言 在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇 偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有 界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数。 一、有界函数 (一)有上界函数、有下界函数的定义 定义1设∫为定义在D上的函数，若存在数M(L),使得对每一个x∈D有 f(x)≤Mx)≥L),则称f为D上的有上（下）界函数，M(L)称为f在D上的一个上（下） 界 注：(1)∫在D上有上（下）界，意味着值域f(D)是一个有上（下）界的数集： (2)又若M(L)为在D上的一个上（下）界，则任何大于M(小于L)的数也是f 在D上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：y=six,1是 其一个上界，下界为一1，则易见任何小于一1的数都可作为其下界：任何大于1的数都可作为 其上界： (3)任给一个函数，不一定有上（下）界： (4)由(1)及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义： f在D上有界一f(D)是一个有界集一∫在D上既有上界又有下界一∫在D上的有上界 函数，也为D上的有下界函数. (二)有界函数定义 定义2设f为定义在D上的函数.若存在正数M,使得对每一个x∈D有f(x)M,则称 ∫为D上的有界函数 《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 1 §1.4 具有某些特性的函数 授课章节：第一章实数集与函数——§1.4 具有某些特性的函数 教学目标：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语;深刻理解有界函数、单调函数的定义;理 解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期. 教学重点：函数的有界性、单调性. 教学难点：周期函数周期的计算、验证. 教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学过程： 引言 在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇 偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有 界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数. 一、 有界函数 (一) 有上界函数、有下界函数的定义 定 义 1 设 f 为定义在 D 上 的 函 数 ， 若 存 在 数 M L( ) ， 使 得 对 每 一 个 x D 有 f x M f x L ( ) ( ( ) )   ，则称 f 为 D 上的有上（下）界函数， M L( ) 称为 f 在 D 上的一个上（下） 界. 注：（1） f 在 D 上有上（下）界，意味着值域 f D( ) 是一个有上（下）界的数集； （2）又若 M L( ) 为 f 在 D 上的一个上（下） 界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是 f 在 D 上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如： y x = sin ，1 是 其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1 的数都可作为其下界；任何大于 1 的数都可作为 其上界； （3）任给一个函数，不一定有上（下）界； （4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义： f 在 D 上有界  f D( ) 是一个有界集  f 在 D 上既有上界又有下界  f 在 D 上的有上界 函数，也为 D 上的有下界函数. (二) 有界函数定义 定义 2 设 f 为定义在 D 上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个 x D 有 | ( ) | f x M ，则称 f 为 D 上的有界函数