《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 注：(1)几何意义：∫为D上的有界函数，则f的图象完全落在y=M和y=-M之间： (②)f在D上有界一f在D上既有上界又有下界：例子：y=sinx,y=cosx:(3)关于 函数∫在D上无上界、无下界或无界的定义. (三)例题 例1证明f:X→R有界的充要条件为：3M,m,使得对x∈X,m≤f)≤M, 证明如果f:X→R有界，按定义3M>0,∈X有≤M,即-Msf)sM, 取m=-M,M=M即可. 反之如果3M,m使得x∈X,m≤fx)≤M,令M。=maM|+lmD,则lf(x)长M,即 3M,>0,使得对x∈X,有fx)上M,即f:X→R有界 例2证明x)=为0]上的无上界函数 例3设f,g为D上的有界函数.证明：(1)infx+ig)≤i{f+gx}: (2)sup(+g(ssupf()+sup(). 5x 例4验证函数f国=2x+3在R内有界 解法一由2x2+3=(2x)2+(W5)2≥2小2x√月=26，当x≠0时，有 |f0)川=0≤3， 对x∈R,总有|fx)川s3,即fx)在R内有界 解法二令y=2x”+3→关于x的二次方程2r2-5x+3y=0有实数根 4-24w20护≤2543s2 解法三令=侵81（引对应x(-,+)于是 3 5x f)=2x2+3 5g5g」 5 sint 1 3V2 1g2t+1 6 cost sec2《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 2 注：(1)几何意义： f 为 D 上的有界函数，则 f 的图象完全落在 y M= 和 y M = − 之间； (2) f 在 D 上有界  f 在 D 上既有上界又有下界；例子： y x y x = = sin , cos ；（3）关于 函数 f 在 D 上无上界、无下界或无界的定义. (三) 例题 例 1 证明 f : X → R 有界的充要条件为：  M ,m ，使得对 x X , m  f (x)  M . 证明 如果 f : X → R 有界，按定义  M >0，x X 有 f (x)  M ，即 − M  f (x)  M , 取 m = −M , M = M 即可. 反之如果  M , m 使得 x X , m  f (x)  M ，令 max(| | 1,| |) M0 = M + m ，则 0 | f (x) | M ，即  M0  0 ，使得对 x X , 有 0 | f (x) | M ，即 f : X → R 有界. 例 2 证明 1 f x( ) x = 为 (0,1] 上的无上界函数. 例 3 设 f g, 为 D 上的有界函数.证明：（1） inf ( ) inf ( ) inf ( ) ( )   x D x D x D f x g x f x g x    +  + ； （2） sup ( ) ( ) sup ( ) sup ( )   x D x D x D f x g x f x g x    +  + . 例 4 验证函数 2 3 5 ( ) 2 + = x x f x 在 R 内有界. 解法一 由 2 3 ( 2 ) ( 3) 2 2 3 2 6 , 2 2 2 x + = x +  x  = x 当 x  0 时,有 3. 2 6 5 2 6 5 2 3 5 2 3 5 ( ) 2 2  =  + = + = x x x x x x f x f (0) = 0  3,  对 x  R, 总有 f (x)  3, 即 f (x) 在 R 内有界. 解法二 令 , 2 3 5 2  + = x x y 关于 x 的二次方程 2 5 3 0 2 yx − x + y = 有实数根. 2 2   = 5 − 24y 4, 2. 24 25 0, 2   y    y  解法三 令       =  − 2 , 2 , 2 3   x tgt t 对应 x ( −  , +  ). 于是 = = + = +         = + = t t t t g t tgt tgt tgt x x f x 2 2 2 2 sec 1 cos sin 6 5 2 1 3 3 5 3 2 3 2 2 3 5 2 3 5 ( )