《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 5 二、单调函数 定义3设∫为定义在D上的函数，x,x∈D,<x,(1)若fx)≤fx,),则称∫为D 上的增函数：若fx)<fx),则称∫为D上的严格增函数.(2)若fx)≥fx,),则称f为D 上的减函数：若fx)>f(x),则称f为D上的严格减函数 例5证明：y=x在(-0，+0)上是严格增函数. 证明设<，x-x=(化-xXx+x2+x) 如西<0，则书>0>x→x< 如6>0，则矿++发>0一-写<0 故-x<0即得证 例6讨论函数y=x]在R上的单调性 注：(I)单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，∫可能单调，也可能不单调。 所以要会求出给定函数的单调区间： (②)严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x轴的部分.更准确地讲： 严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数. 总结得下面的结论： 定理1设y=fx),x∈D为严格增（减）函数，则f必有反函数，且在其定义域f(D) 上也是严格增（减）函数。 例7讨论函数y=x2在(-0，+o)上反函数的存在性：如果y=x2在(-0，+0)上不存在反函 数，在(-0，+)的子区间上存在反函数否？ 结论函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关。 例8证明：y=a当a>1时在R上严格增，当0<a<1时在R上严格递减. 三、奇函数和偶函数 定义4设D为对称于原点的数集，∫为定义在D上的函数.若对每一个x∈D有 (1)f(-x)=-fx),则称∫为D上的奇函数： 《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 3 . 2 6 5 sin 2 2 6 5 sin 2 , ( ) 2 6 5 = t  f x = t  二、 单调函数 定义 3 设 f 为定义在 D 上的函数， 1 2 1 2    x x D x x , , , （1）若 1 2 f x f x ( ) ( )  ，则称 f 为 D 上的增函数；若 1 2 f x f x ( ) ( )  ，则称 f 为 D 上的严格增函数.（2）若 1 2 f x f x ( ) ( )  ，则称 f 为 D 上的减函数；若 1 2 f x f x ( ) ( )  ，则称 f 为 D 上的严格减函数. 例 5 证明： 3 y x = 在 ( , ) − + 上是严格增函数. 证明 设 1 2 x  x ， ( )( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1 x − x = x − x x + x x + x 如 x1 x2  0 ，则 3 2 3 2 0 1 1 x   x  x  x 如 1 2 x x  0 ，则 2 2 3 3 1 1 2 2 1 2 x x x x x x + +   −  0 0 故 0 3 2 3 x1 − x  即得证. 例 6 讨论函数 y x = [ ] 在Ｒ上的单调性. 注：(1) 单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分， f 可能单调，也可能不单调. 所以要会求出给定函数的单调区间； (2) 严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于 x 轴的部分.更准确地讲： 严格单调函数的图象与任一平行于 x 轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数. 总结得下面的结论： 定理 1 设 y f x x D =  ( ), 为严格增（减）函数，则 f 必有反函数 1 f − ，且 1 f − 在其定义域 f D( ) 上也是严格增（减）函数. 例 7 讨论函数 2 y x = 在 ( , ) − + 上反函数的存在性；如果 2 y x = 在 ( , ) − + 上不存在反函 数，在 ( , ) − + 的子区间上存在反函数否？ 结论 函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关. 例 8 证明： x y a = 当 a 1 时在Ｒ上严格增，当 0 1  a 时在Ｒ上严格递减. 三、 奇函数和偶函数 定义 4 设 D 为对称于原点的数集， f 为定义在 D 上的函数.若对每一个 x D 有 （1） f x f x ( ) ( ) − = − ，则称 f 为 D 上的奇函数；