∫p- 所以 (x-a)(-B)dxdy s 17.利用重积分的性质和计算方法证明:设f(x)在a,b]上连续,则 f(x)ax≤(b-a)[f(x)]d 证由于 ,(x于=/()/bs1(()+(y, la, bk[a, b 由对称性 JJV2(x)+2()rdy =2 r2(x)dxdy [a, bk[a, b [a, b][a, b 2f(x)d=2b-0)(x 所以 5/(ad s(b-a u(x)'do 18.设f(x)在ab上连续,证明 证明一将区间[abn等分,并取51∈[x1,x],则 ∫l(ydy=lm 再利用不等式:当x1>0(=1,2,…,n)时成立 (x1+x +xn( )≥n (注:上述不等式可由算术平均不小于几何平均得到) 就有 b-a ∑e1).∑e()≥(b-a)2 所以 dy≥(b-a) 证明二设D=[a,b]x[a,b],由对称性,有 felar-o dxdy=Je(-/(dxdy2 2 1 y d c y − dy ≤ l ∫ β ， 所以 4 ( )( ) 2 2 x y l l x − y − dxdy ≤ ∫∫ D α β 。 17．利用重积分的性质和计算方法证明：设 f (x)在[a,b]上连续，则 ∫ ∫ ≤ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ b a b a f x dx b a f x dx 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 。 证 由于 [ ] ∫ ∫∫ × = [ , ] [ , ] 2 ( ) ( ) ( ) a b a b b a f x dx f x f y dxdy ( ) ∫∫ × ≤ + [ , ] [ , ] 2 2 ( ) ( ) 2 1 a b a b f x f y dxdy ， 由对称性， ( ) ∫∫ ∫∫ × × + = [ , ] [ , ] 2 [ , ] [ , ] 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) a b a b a b a b f x f y dxdy f x dxdy = ∫ ∫ = − ∫ ， b a b a b a 2 f (x)dx dy 2(b a) f (x)dx 2 2 所以 ∫ ⎥ ≤ − ∫ 。 ⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ b a b a f x dx b a f x dx 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 18．设 f x( ) 在[a b, ]上连续，证明 2 [ , ] [ , ] ( ) ( ) e d xd y (b a) a b a b f x f y ≥ − ∫∫ × − 。 证明一 将区间[a,b] n等分, 并取 [ , ] i i 1 i x x ξ ∈ − ，则 ∫∫ × − = [ , ] [ , ] ( ) ( ) a b a b f x f y e dxdy ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ − ∑ ∑ = − = →∞ n i f n i f n i i e e n b a 1 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) lim ξ ξ ， 再利用不等式：当 xi > 0 （i = 1,2,", n ）时成立 2 1 2 1 2 ) 1 1 1 ( )( n x x x x x x n + +"+ n + +"+ ≥ ， （注：上述不等式可由算术平均不小于几何平均得到） 就有 ∑ ∑ = − = ⋅ − n i f n i f i i e e n b a 1 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) ξ ξ 2 ≥ (b − a) ， 所以 2。 [ , ] [ , ] ( ) ( ) e d xd y (b a) a b a b f x f y ≥ − ∫∫ × − 证明二 设D = [a,b]×[a,b]，由对称性，有 ∫∫ − = ∫∫ − ， D D e dxdy e dxdy f ( x) f ( y) f ( y) f (x) 8