y2)]abs√ 15.设D=0.×[0,利用不等式1-≤c0s1≤1(|tkz/2)证明 49 cos(xy)2ddhy≤1 证由 ≤cos(xy)2≤ 易知 cos(xy)2dxdh≤ 另一方面,由于 49 kady=l-oLxdxly 所以 s(xy)dxdy 16.设D是由xy平面上的分段光滑简单闭曲线所围成的区域,D在x轴 和y轴上的投影长度分别为l和1,(a,B是D内任意一点。证明 (1)(x-a)(-B)dxdys1,/,mD; (2)(x-ay-B 证(1)x-ay-pjx-y-Ad HI,dxdy=lI, mD (2)设D≤D=ab×c,且b-a=12,d-c=l,。则 a)y-B)lardy ∫p-aly-cy=x-ay-p 由于a∈[a,b],于是 a-a)2+(b-a)2], 同理可得1 [ ] sin( ) cos( ) 2 2 2 ≤ + ≤ ∫∫ D x y dxdy 。 15．设D = [0,1]×[0,1]，利用不等式 cos 1 2 1 2 − ≤ t ≤ t （| t |≤ π / 2 ）证明 cos( ) 1 50 49 2 ≤ ≤ ∫∫ xy dxdy D 。 证 由 cos( ) 1 2 ( ) 1 2 4 − ≤ xy ≤ xy ， 易知 cos( ) 1 2 ≤ ∫∫ xy dxdy D ， 另一方面，由于 50 49 2 1 ] 1 2 ( ) [1 1 0 4 1 0 4 4 − = − = ∫∫ ∫ ∫ dxdy x dx y dy xy D ， 所以 xy dxdy ∫∫ ≤ D 2 cos( ) 50 49 。 16．设D是由 xy平面上的分段光滑简单闭曲线所围成的区域，D在 轴 和 x y 轴上的投影长度分别为lx 和l y，( , α β)是D内任意一点。证明 (1) D D x − y − dxdy ≤ l xl ym ∫∫( α)( β) ； (2) 4 ( )( ) 2 2 x y l l x − y − dxdy ≤ ∫∫ D α β 。 证（1） ∫∫ ∫∫ − − ≤ − − D D (x α)(y β)dxdy x α y β dxdy ≤ ∫∫ = 。 D l l dxdy x y l xl ymD （2）设D ⊆ D′ = [a,b]×[c, d]，且 x y b − a = l , d − c = l 。则 ( ) x − − α β ( y )dxdy ≤ ( ) x −α β ( y − ) dxdy ∫∫ ∫∫ D D x α β y dxdy ′ ≤ − − ∫∫ D ∫ ∫ = − − d c b a x α dx y β dy， 由于 α ∈[a,b]，于是 [( ) ( ) ] 2 1 ( ) ( ) 2 2 α α α α α α α − = − − + − = − + − ∫ ∫ ∫ x dx x dx x dx a b b a b a ， 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 [( ) ( )] ( )( ) 2 1 x = b −α + α − a − b −α α − a ≤ b − a = l ， 同理可得 7