解设D是所围空间区域在xy平面的投影,则 D={(x,y)0≤x≤y,0≤ysl 于是 =-yab=-y2小=y-y 11.求旋转抛物面z=x2+y2,三个坐标平面及平面x+y=1所围有界区 域的体积 解设D是所围空间区域在xy平面的投影,则 D={(x,y)x+y≤1,x≥0,y≥0 于是 ∫x2dy=2x2h D 6 12.设f(x)在R上连续,a,b为常数。证明 (1)∫()=(yb-y地; Caylela-n 证(1)交换积分次序,则得到 d/O)=(y)=门0)b-y (2)交换积分次序,则得到 fodyela-xf(x 13.设f(x)在[0,上连续,证明 证交换积分次序,则得到 Df(x 14.设D=[011×[0,,证明 l≤in(x2)+cs(y 证js0)+)ops(x+oy2)h Ssin(x)dx+ cos(y2)dy=5[sin(x)+cos( 2)dx √2lsin( 当x∈[0,时,成立 ≤sin( 所以解 设D是所围空间区域在 xy平面的投影，则 D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ y,0 ≤ y ≤ 1}， 于是 3 1 1 1 1 1 0 2 0 1 0 2 2 = − = − = − = ∫∫ ∫ ∫ ∫ V y dxdy y dy dx y y dy y D 。 11. 求旋转抛物面z x = 2 + y 2 ，三个坐标平面及平面 x + y = 1所围有界区 域的体积。 解 设D是所围空间区域在 xy平面的投影，则 D = {(x, y) x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}， 于是 6 1 ( ) 2 2 1 0 1 0 2 2 2 2 = + = = = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ −x D D V x y dxdy x dxdy x dx dy 。 12．设 f x( ) 在R 上连续，a,b为常数。证明 (1) a dx f y dy f y b y dy； b a x a b ∫ ∫ = − ∫ ( ) ( )( ) (2) dy e f x dx a x e f x dx（ ）。 a a x y a x a 0 0 0 ∫ ∫ ∫ − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − a > 0 证（1）交换积分次序，则得到 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = − b a b y b a x a b a dx f ( y)dy f (y)dy dx f ( y)(b y)dy。 （2）交换积分次序，则得到 ∫ ∫ ∫ ∫ − − = a x a a x y a x a dy e f x dx e f x dx dy 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ∫ − = − a a x a x e f x dx 0 ( ) ( ) ( ) 。 13．设 f x( ) 在[0,1]上连续，证明 ∫ ∫ ∫ = − 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 2 dy e f x dx e e f x dx x x y y y 。 证 交换积分次序，则得到 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = − 1 0 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 dy e f x dx f x dx e dy e e f x dx x x x x y y y y 。 14. 设D = [0,1]×[0,1]，证明 1 [ ] sin( ) cos( ) 2 2 2 ≤ + ≤ ∫∫ D x y dxdy 。 证 ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + = + 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 2 2 [sin(x ) cos( y )]dxdy sin(x )dx dy cos( y )dy dx D ∫ ∫ ∫ = + = + 1 0 2 2 1 0 2 1 0 2 sin(x )dx cos( y )dy [sin(x ) cos(x )]dx ∫ = + 1 0 2 ) 4 2 sin(x dx π 。 当 x ∈[0,1]时，成立 ) 1 4 sin( 2 1 2 ≤ + ≤ π x ， 所以 6