dxd小d +x+ 2d。d (1+x+y+) 111 5 (10)在=的=可=在 (11)JL=== =d=jlo dxdy 2=2-=2)+=(R2-2 480 (12)』x2=ex21dd bcx2(--,)x bc 7.设平面薄片所占的区域是由直线x+y=2,y=x和x轴所围成,它的 面密度为p(x,y)=x2+y2,求这个薄片的质量 解设薄片的质量为m,则 P(x,y)dxdy=l dy(x+y 4γ+4 8 Ddy 8.求抛物线y2=2mx+p2与y2=-2gx+q2(pq>0)所围图形的面积。 解联立两个抛物线方程,解得x=92,y=±m,于是两抛物线所围 的面积为 Jdy==(p+q)vpq 9.求四张平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0和 2x+3y+z=6截的的立体的体积。 解设D:0≤x≤1,0≤y≤1,利用对称性,有 dxd 于是 3y)=6-5xyy 10.求柱面y2+x2=1与三张平面x=0,y=x,z=0所围的在第一卦限的 立体的体积（9） dxdydz ( ) 1 x y z 3 + + + ∫∫∫ Ω ∫ ∫ ∫ − − − + + + = x x y x y z dz dx dy 1 0 3 1 0 1 0 (1 ) ∫ ∫ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = x dy x y dx 1 0 2 1 0 4 1 (1 ) 1 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − + = ∫ 1 0 4 1 2 1 1 1 2 1 dx x x 16 5 ln 2 2 1 − 。 （10） zdxdydz Ω ∫∫∫ 3 0 2 0 3 1 zdz dxdy z dz h h h z = = π = π ∫ ∫∫ ∫ Ω 。 （11）∫∫∫Ω Ω = ∫ ∫∫ R z z dxdydz z dz dxdy 0 2 2 = − + − = ∫ ∫ R R R z Rz z dz z R z dz 2 2 2 2 2 0 2 2 π (2 ) π ( ) 5 480 59 πR 。 （12）∫∫∫Ω −∫ ∫∫Ω = a a x x dxdydz x dx dydz 2 2 = − = ∫− a a dx a x bc x (1 ) 2 2 2 π a bc 3 15 4 π 。 7．设平面薄片所占的区域是由直线 x + y = 2,y = x 和 x轴所围成，它的 面密度为ρ( , x y) = x 2 + y 2 ，求这个薄片的质量。 解 设薄片的质量为m，则 ∫∫ ∫ ∫ − = = + y y D m x y dxdy dy x y dx 2 2 2 1 0 ρ( , ) ( ) 3 4 ) 3 8 4 4 3 8 ( 1 0 2 3 = − + − = ∫ y y y dy 。 8. 求抛物线 y p 2 2 = 2 x + p 与 y q 2 2 = −2 x + q ( , p q > 0) 所围图形的面积。 解 联立两个抛物线方程，解得 y pq q p x = ± − = , 2 ，于是两抛物线所围 的面积为 y dy p q pq pq p q S dy dx p q pa q q y p p y pq pq ( ) 3 2 [( ) ] 0 2 2 2 2 2 2 2 = + + = = + − ∫ ∫ ∫ − − − 。 9. 求四张平面 x = = 0 0 , , y x = 1, y = 1 6 所围成的柱体被平面 z = 0 和 2 3 x + +y z = 截的的立体的体积。 解 设D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1，利用对称性，有 ∫∫ ∫∫ = D D xdxdy ydxdy ， 于是 2 7 (6 2 3 ) 6 5 1 0 1 0 = − − = − = ∫∫ ∫ ∫ V x y dxdy dx ydy D 。 10. 求柱面 y 2 + z 2 = 1与三张平面 x = 0, y = x, z = 0所围的在第一卦限的 立体的体积。 5