A3应用：Gaus消去法求解线性方程组 …3 这样，经过n-1步后，即可得到一个上三角矩阵A: 最后，回代求解 1 = i=n-1,n-2,1. 白注记：由上面的求解过程可知，Gus消去法能顺利进行下去的充要条件是a≠0，i=1,2,,n 这些元素被称为主元 定理A】所有主元都不为零的充要条件是A的所有顺序主子式都不为零】 推论A2Gaus消去法能顺利完成的充要条件是A的所有顺序主子式都不为零 Gaus消去法的运算量 下面统计整个Gaus消去法的乘除运算的次数. 在第k步中，我们需要计算 mk=k/a限，i=k+1,,n→n-k次 +=9-m4喝，i=k+1n→a-k次 6+)=6的-mb,i=k+1,,n→n-k次 所以整个消去过程的乘除运算为 2m-+a-r-2+e=a-+a-2-到 易知，回代求解过程的乘除运算为 1+∑n-i+1=nn+) -1 2 所以整个Gaus消去法的乘除运算为 3 +2-号 同理，也可统计出，Gaus消去法中的加诚运算次数为 http://math.ecnu.edu.cn/-jypanA.3 应用: Gauss 消去法求解线性方程组 · 3 · 这样, 经过 n − 1 步后, 即可得到一个上三角矩阵 A(n) : A (n) =        a (1) 11 a (1) 12 · · · a (1) 1n b (1) 1 a (2) 22 · · · a (2) 2n b (2) 2 . . . . . . . . . a (n) nn b (n) n        . 最后, 回代求解 xn = b (n) n a (n) nn , xi = 1 a (i) ii  b (i) i − Xn j=i+1 a (i)xj ij   , i = n − 1, n − 2, . . . , 1. b 注记：由上面的求解过程可知, Gauss消去法能顺利进行下去的充要条件是 a (i) ii ̸= 0, i = 1, 2, . . . , n, 这些元素被称为 主元. 定理 A.1 所有主元都不为零的充要条件是 A 的所有顺序主子式都不为零. 推论 A.2 Gauss 消去法能顺利完成的充要条件是 A 的所有顺序主子式都不为零. Gauss 消去法的运算量 下面统计整个 Gauss 消去法的乘除运算的次数. 在第 k 步中, 我们需要计算 mik = a (k) ik /a (k) kk , i = k + 1, . . . , n → n − k 次 a (k+1) ij = a (k) ij − mika (k) kj , i = k + 1, . . . , n → (n − k) 2 次 b (k+1) i = b (k) i − mikb (k) k , i = k + 1, . . . , n → n − k 次 所以整个消去过程的乘除运算为 nX−1 k=1 2(n − k) + (n − k) 2 = nX−1 ℓ=1 2ℓ + ℓ 2 = n(n − 1) + n(n − 1)(2n − 3) 6 . 易知, 回代求解过程的乘除运算为 1 + nX−1 i=1 n − i + 1 = n(n + 1) 2 . 所以整个 Gauss 消去法的乘除运算为 n 3 3 + n 2 − n 3 . 同理, 也可统计出, Gauss 消去法中的加减运算次数为 n 3 3 + n 2 2 − 5n 6 . http://math.ecnu.edu.cn/~jypan