y=2(x)+/()y=U(x)- 7.已知函数∫和g的图像,试作下列各函数的图像 (1)(x)=max{(x),g(x)};(2)v(x)=mx{(x,g(x)} 提示应用上面第2题解答和第6题(6),(7) 8.设f,g和h为增函数,满足 f(x)≤g(x)≤h(x),x∈R 证明:f(f(x)≤g(g(x)≤h(h(x) 证因为x∈R,f(x)≤g(x),且f为增函数,所以 f(f(x)≤f(g(x) 又因f(y)≤g(y),取y=g(x),即有f(f(x)≤f(g(x);于是证得f(f(x)≤f(g(x)同理 利用g(x)是增函数可证g(g(x)≤h(H(x)这里没有用到h(x)的增函数性质(如果顺序倒过来证 就会用到h(x)的递增性) 9.设∫和g为区间(ab)上的增函数,证明第7题中定义的函数o(x)和v(x)也都是(a1b) 上的增函数 证现证v(x)=mn{(x),g(x)}为增函数设x1,x2∈(a,b),x1<x2,按定义 f(x1)≤f(x2),8(x1)≤g(x2), 于是min{(x1),g(x1)≤f(x1)≤f(x2), min{(x1).(x1)≤8(x)≤g(x12) 这样就证得 min ff(x), &(x) min f(x, ) &(x,) 即min{f(x),g(x)}为增函数同事可证max{(x)g(x)}也为增函数 10.设∫为-aa]上的奇(偶)函数证明:若∫在[O,a上增,则∫在[-a0上增(减) 提示若x1,x2∈[-a0],x1<x2,则x,x2∈[-a0]x<x2,于是f(-x1)>f(-x2) 2.设∫,g为D上的有界函数证明 (1)inf f(x)+8(x))< inf f(x)+sup g(x) (2)sup f(x)+inf g(x)<sulf(x)+g(x) 证法一(1)因为vx∈D,g(x)≤supg(x),于是 f(x)+g(x)sf(x)+sup g(x) 由教材§4,习题7可知 inf ff(x)+g(x))s inff(x)+sup g(x)=inf f(x)+ sup g(x) ( ) ( ) 2 1 y = f x + f x ；（7）  ( ) ( ) 2 1 y = f x − f x . 7．已知函数 f 和 g 的图像，试作下列各函数的图像： （1） (x) = maxf (x), g(x) ；（2）  (x) = mixf (x), g(x). 提示 应用上面第 2 题解答和第 6 题（6），（7）. 8．设 f ，g 和 h 为增函数，满足 f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ， x R . 证明： f ( f (x)) ≤ g(g(x)) ≤ h(h(x)). 证 因为 xR ， f (x) ≤ g(x) ，且 f 为增函数，所以 f ( f (x)) ≤ f (g(x)) ； 又因 f ( y) ≤ g(y) ，取 y = g(x) ，即有 f ( f (x)) ≤ f (g(x)) ；于是证得 f ( f (x)) ≤ f (g(x)).同理， 利用 g(x) 是增函数可证 g(g(x)) ≤ h(h(x)).这里没有用到 h(x) 的增函数性质（如果顺序倒过来证， 就会用到 h(x) 的递增性）. 9．设 f 和 g 为区间（a,b）上的增函数，证明第 7 题中定义的函数 (x) 和 (x) 也都是（a,b） 上的增函数. 证 现证 (x) = minf (x), g(x) 为增函数.设 1 2 1 2 x , x (a,b), x  x ，按定义 ( )1 f x ≤ ( ) 2 f x ， ( ) 1 g x ≤ ( ) 2 g x ， 于是 minf (x1 ), g(x1 ) ≤ ( )1 f x ≤ ( ) 2 f x ， minf (x1 ), g(x1 ) ≤ ( ) 1 g x ≤ ( ) 2 g x . 这样就证得 minf (x1 ), g(x1 ) ≤ minf (x2 ), g(x2 )， 即 minf (x), g(x) 为增函数.同事可证 maxf (x), g(x) 也为增函数. 10．设 f 为[-a,a]上的奇（偶）函数.证明：若 f 在[0,a]上增，则 f 在[-a,0]上增（减）. 提示 若 1 2 1 2 x , x [−a,0], x  x ，则 1 2 1 2 x , x [−a,0], x  x ，于是 ( ) ( ) 1 2 f −x  f −x . 12．设 f ， g 为 D 上的有界函数.证明： （1） inf f (x) g(x) x D +  ≤ inf f (x) sup g(x) x D x D   + ； （2） sup f (x) inf g(x) x D x D   + ≤ supf (x) g(x) x D +  . 证法一 （1）因为 xD, g(x) ≤ sup g(x) xD ，于是 f (x) + g(x) ≤ f (x) sup g(x) xD + . 由教材§4，习题 7 可知 inf f (x) g(x) x D +  ≤       +   inf f (x) sup g(x) x D x D = inf f (x) sup g(x) x D x D   +