银川能源学院《高签激学》救朱 第六童空间解析几何 因此 OM-OA=X(OB-OM), 从而 0i200丽=（投授2）. 这就是点M的坐标. 另解 设所求点为Mx,y,),则AM=(x-,y--), MB=(k,-x为-y2-).依题意有AM=元MB,即 (x-x1,-y1,-31=2(x2-x,2-y,22-z) (x,y,-(x1,y1,=(2,2,222x,,), 化男归克6+++。 种授，授 1+元 点M叫做有向线段AB的定比分点.当=1，点M的有向线段AB的中点， 其坐标为 x”,势， 2 例5求证以M(4,3,1)M(7,1,2)八、M(5,2,3)三点为顶点的三角形是 一个等腰三角形 解因为1MM=(7-4)2+1-3)2+(2-1)2=14, 1M4=-(5-7)2+2-1)2+(3-22=6, 1M1M=(5-4)2+2-3)2+(3-1)2=6, 所以MMMM,即△MMM为等腰三角形. 例6在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解设所求的点为M0,O,),依题意有MA=MB, 即 (0+4)2+(0-1)2+-7)}2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2 解之得：=号，所以，所求的点为M0,0当. 例7己知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB. 解从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则∠AMB就是向 量a与b的夹角. ={1,1,0},b={1,0,1}: 因为 a-b=1×1+1×0+0x1=1, la2+12+02=√2， 1b作√12+02+12=√2」 所以 e∠4wB=放万万F号 第8页银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 8 页 因此     OMOA(OBOM)  从而    ( ) 1 1 OM OA OB     ) 1 , 1 , 1 ( 1 2 1 2 1 2              x x x x x x  这就是点 M 的坐标 另 解 设 所 求 点 为 M (x y z) 则  ( , , ) 1 1 1 AM  xx y y zz   ( , , ) 2 2 2 MB x x y  y z z  依题意有   AM  MB  即 (xx1 yy1 zz1)(x2x y2y z2z) (x y z)(x1 y1 z1)(x2 y2 z2)(x y z) ( , , ) 1 1 ( , , ) 1 2 1 2 1 2 x y z x x y y z z             1 1 2 x x x       1 1 2 y y y       1 1 2 z z z  点 M 叫做有向线段  AB 的定比分点 当 1 点 M 的有向线段  AB 的中点 其坐标为 2 1 2 x x x    2 1 2 y y y    2 1 2 z z z    例 5 求证以 M1(4 3 1)、M2 (7 1 2)、M3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是 一个等腰三角形 解 因为 | M1M2| 2 (74)2 (13)2 (21)2 14 | M2M3| 2 (57)2 (21)2 (32)2 6 | M1M3| 2 (54)2 (23)2 (31)2 6 所以|M2 M3||M1M3| 即 M1 M2 M3 为等腰三角形 例 6 在 z 轴上求与两点 A(4 1 7)和 B(3 5 2)等距离的点 解 设所求的点为 M(0 0 z) 依题意有|MA| 2 |MB| 2  即 (04)2 (01)2 (z7)2 (30)2 (50)2 (2z)2  解之得 9 14 z  所以 所求的点为 ) 9 14 M(0, 0,  例 7 已知三点 M (1 1 1)、A (2 2 1)和 B (2 1 2) 求 AMB  解 从 M 到 A 的向量记为 a 从 M 到 B 的向量记为 b 则 AMB 就是向 量 a 与 b 的夹角 a{1 1 0} b{1 0 1} 因为 ab1110011 | | 1 1 0 2 2 2 2 a      | | 1 0 1 2 2 2 2 b      所以 2 1 2 2 1 | || | cos       a b a b AMB 