B2透枧投影的各种线性近似 从上节的讨论可以知道,透视投影实际是一个非线性映射。这在实际求解时可能需要大 的计算量:更重要的是,如果透视效果并不明显,直接使用该模型可能会使实际问题称为病 态问题。另外,在某些条件下,例如,摄象机的视场很小,并且物体的尺寸相对于到观察者 的距离也很小,透视模型可以很好地用线性模型近似。这种近似可大大简化推导和计算 为简单起见,如果不作特别说明的话,下面的讨论都认为像点用其归一化坐标表示,三 维点用其在摄象机坐标系中的坐标表示。 B1正投影( orthographic projection) 最简单的线性近似称为正投影。这种近似完全忽略了深度信息。在这种投影方式下,物 体到摄象机的垂直距离(深度信息)和物体到光轴的距离(位置信息)都完全丢失了。因此, 它只在这两种信息确实可以忽略时才可使用。 正投影的公式为x=X,y=Y。 B22弱透视( weak perspective) 如果物体的尺寸相对其到摄象机的距离很小的话,物体上各点的深度可以用一共同的深 度值Z近似,这个值一般取物体质心的深度。这样透视模型可近似为 X4y (B.18) 这种近似可以看作两阶段投影的合成。第一步,整个物体按平行于光轴的方向正投影到 经过物体质心并与图象平面平行的平面上:第二步,再按透视模型投影到图象平面上,这一 步实际是全局的放缩。因此,弱透视也被称为放缩正投影( scaled orthographic projection) 000 令P=0100 000Z 则弱透视模型可写成与透视投影类似的形式 将摄象机的内外参数都考虑进来,我们有 sm=APDM,其中s为一比例因子,A和D如上节定义。消去比例因子,我们看229 B.2 透视投影的各种线性近似 从上节的讨论可以知道，透视投影实际是一个非线性映射。这在实际求解时可能需要大 的计算量；更重要的是，如果透视效果并不明显，直接使用该模型可能会使实际问题称为病 态问题。另外，在某些条件下，例如，摄象机的视场很小，并且物体的尺寸相对于到观察者 的距离也很小，透视模型可以很好地用线性模型近似。这种近似可大大简化推导和计算。 为简单起见，如果不作特别说明的话，下面的讨论都认为像点用其归一化坐标表示，三 维点用其在摄象机坐标系中的坐标表示。 B.2.1 正投影（orthographic projection） 最简单的线性近似称为正投影。这种近似完全忽略了深度信息。在这种投影方式下，物 体到摄象机的垂直距离（深度信息）和物体到光轴的距离（位置信息）都完全丢失了。因此， 它只在这两种信息确实可以忽略时才可使用。 正投影的公式为 x=X, y=Y。 B.2.2 弱透视（weak perspective） 如果物体的尺寸相对其到摄象机的距离很小的话，物体上各点的深度可以用一共同的深 度值 Z0 近似，这个值一般取物体质心的深度。这样透视模型可近似为 0 0 Z Y y Z X x = = (B.18) 这种近似可以看作两阶段投影的合成。第一步，整个物体按平行于光轴的方向正投影到 经过物体质心并与图象平面平行的平面上；第二步，再按透视模型投影到图象平面上，这一 步实际是全局的放缩。因此，弱透视也被称为放缩正投影（scaled orthographic projection）。 令           = 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 Z Pwp (B.19) 则弱透视模型可写成与透视投影类似的形式             =           1 1 Z Y X y P x s wp 。将摄象机的内外参数都考虑进来，我们有 APwpD w sm M ~ ~ = ，其中 s 为一比例因子，A 和 D 如上节定义。消去比例因子，我们看