高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 第五节对坐标的曲面积分 教学内容：有向曲面及曲面元素的投影： 对坐标的曲面积分的概念与性质： 对坐标的曲面积分的计算法 两类曲面积分之间联系。 教学目标：理解对坐标的曲面积分的概念和性质， 掌握对坐标的曲面积分的计算方法 了解两类曲面积分之间联系。 教学重点：对坐标的曲面积分的计算方法 教学难点：有向曲面及曲面元素的投影 对坐标的曲面积分的计算法 教学方法：讲授 作 业：课后习题 教学过程： 一、有向曲面及曲面元素的投影 有向曲面：通常我们遇到的曲面都是双侧的.例如由方程=z(x)表示的曲面分为上 侧与下侧.设n=(cosa,cosB,cos)为曲面上的法向量，在曲面的上侧cos>0,在曲面的下 侧cos火0.闭曲面有内侧与外侧之分.类似地，如果曲面的方程为=r(乙，，则曲面分为左 侧与右侧，在曲面的右侧cos公0，在曲面的左侧cos及0.如果曲面的方程为仁x(y),则 曲面分为前侧与后侧，在曲面的前侧cosa心0，在曲面的后侧cos<0. 设Σ是有向曲面.在Σ上取一小块曲面△S把△S投影到xOy面上得一投影区域，这投影 区域的面积记为（△o).假定△S上各点处的法向量与z轴的夹角y的余弦cosy有相同的符号 (即cosy都是正的或都是负的).我们规定△S在xOy面上的投影（△S,为 (AO)x cosy>0 (△S)y (△O)y cosy<0, 0 coSy≡0 其中cos=0也就是（△σ），=0的情形.类似地可以定义△S在yOz面及在zOx面上的投影（△S)x 及（△S. 二、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x2)=(P八x八2)），Q(x2),R(xyz)） 给出，Σ是速度场中的一片有向曲面，函数P(xy2)、Q(x,)、R(xy2）都在Σ上连 续，求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量，即流量Φ