高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 分析：如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域，且流体在这闭区域上各点处的流速 为（常向量）？又设为该平面的单位法向量，那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成 一个底面积为A、斜高为的斜柱体 当(g)=6<受时，这斜柱体的体积为Av©os:An 当(g小-受时，显然流体通过闭区域4的流向n所指侧的流量0为零，而加心，故 Φ=A四 当（化川>号时，4心，这时我们仍把n称为流体通过闭区城A流向n所指一侧的 流量，它表示流体通过闭区域A实际上流向-n所指一侧，且流向-n所指一侧的流量为-Arn. 因此，不论(g)为何值，流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为An, 对一般的有向曲面∑，对稳定流动的不可压缩流体的 速度场v=(P(x,y,z),Q(x,y,z)R(x,y,z) 用“大化小，常代变，近似和，取极限” 把曲面Σ分成n小块：△S,△S,··,△S(△S同时也代表第i小块曲面的面积).在Σ 是光滑的和v是连续的前提下，只要△S的直径很小，我们就可以用△S上任一点(5，，G) 处的流速 =v(5,1,5)=P八5,75)i+Q5,7,5）j升R(5,7,5)k 代替△S上其它各点处的流速，以该点(5，，5)处曲面Σ的单位法向量 n=cosa i+CosB,产cosyk代替AS上其它各点处的单位法向量.从而得通过△S,流向指定侧的流量 的近似值为n△S,(=1,2,···,d 于是，通过Σ流向指定侧的流量D≈yAS, i=l -P()cosa,+O(5)cosB+R(56)cosy1AS. i=1 但 cosar△S≈(AS)W,cosB△S≈（△S）m,cos△S≈（△S)w, 故中≈∑P(5,,5)AS)z+Q(5,,5)AS,)zx+R(5,1,5i)AS)]; i= 令入→0取上述和的极限，就得到流量Φ的精确值这样的极限还会在其它问题中遇到.抽去 具体意义，就得出对坐标的曲面积分的概念 提示：把△S,看成是一小块平面，其法线向量为，则通过△S流向指定侧的流量近似地 等于一个斜柱体的体积。 此斜柱体的斜高为v,高为cos(,n)=rn,体积为rn△S. 因为n=cosa,i+C0sB:升cos为k 2