高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 v=v(5,7,5)=P(5,n,5)i+Q5,,G)j升R(5,,5)k rn△S=[P八5,7，S）cosa+Q(5,7,S）cosB+R5,,5)cosY]△S, 公 cosarAS≈（△S）a,cosBrAS≈(AS）r,cosyrAS≈(AS)r, 所以VrnAS≈P(5,n,5)(△S)+Q(5,7S)(△S》+R(5,,S）(△S》w. 对于Σ上的一个小块o,显然在△t时间内流过σ的是一个弯曲的柱体.它的体积近似于 以o为底，而高为(M△t)cos(gn)=n△t 的柱体的体积：V.nA tA.S,这里=(cosa,cosB,cos是o上的单位法向量，△S表示o的面 积.所以单位时间内流向σ指定侧的流体的质量近似于AS(P(xy2)cos叶Qx乃， z)cosB+(xyz)cosy)△S.如果把曲面∑分成n小块G(=1,2,···,n),单位时 间内流向Σ指定侧的流体的质量近似于 u≈∑{P(x,z)Cosa%+Qx,y,z)cosB+R(x,y,z)cosY}△S. i= 按对面积的曲面积分的定义， =P(x,y,2)cosa+Q(xy,z)cosB+R(x,y,z)cosyidS=[V.ndS 抽去流体物理内容，我们抽象出对坐标的曲面积分的概念 定义设Σ为光滑的有向曲面，函数R(x5z)在Σ上有界.把Σ任意分成n块小曲面 △S,(△S同时也代表第i小块曲面的面积).在xOy面上的投影为（△S),(5,7,5)是△S 上任意取定的一点.如果当各小块曲面的直径的最大值无0时.m之RG,,5AS →0 总存在，则称此极限为函数R(xy)在有向曲面Σ上对坐标x、y的曲面积分，记作 JRGx.y.Xdxdy [fR(x.y.)ddy-limR.5D)(AS) λ0e 其中(x5z)叫做被积函数，Σ叫做积分曲面类似地 ∬Px,y,z)ddb=Iim∑P5,n,SaS)e 元01 O(x,y.2)dzdx=im5)(A5) 1>0=1 定义设Σ是空间内一个光滑的曲面，=(cosa,cosB,cos)是其上的单位法向量，V(x )=(P(x乃)，Q(x马)，(x乃z)是确在Σ上的向量场.如果下列各式右端的积分 存在，我们定义 Pdvd-P)cosadS. 3