398 高等数学重点难点100讲 零(从形式上看因为在习1上,y等于常数3,所以dy=0,dydz=0,ddy=0),从而 r=‖2(1-y)dzdx=2(1-32)dzdx=-16 dzdx=-16×2r=-2r 例5请读者验证下列各题, (1)e+' arctan√z+yd=4m,其中L:x+y=1,y≥0 (2)(x2+y2+x2-x-y-z)ds=2丌R,其中L是球面x2+y2+x2=R2与平 面x+y+z=0的交线; (3) 9x2 xe-2y)d=0,其中L是椭圆x+3=1沿顺时 针一周 (4) 2y2+zd=2πa2,其中L为球面x2+y2+x2=a2与平面x=y相交的圆 周(其中a>0) 与二重积分类似,利用对称性也可以简化对弧长的曲线积分的计算 (1)若积分弧段L关于x轴对称,而L1是L上对应于y≥0的部分,则 当 0 当f( (2)若积分弧段L关于y轴对称,而L1是L上对应于x≥0的部分,则 2.f(x,y)ds,当f )=f(x,y) 0 当f(-x,y)=-f(x,y) (3)若积分弧段L关于x轴和y轴均对称,而L1是L上对应于x≥0,y≥0的部分,则 4 f(,y)ds, f(-r, y)=f(r,-y)=f(r, y) f(x, y)ds 当f(-x,y)=-f(x,y)或f(x,-y)=-f(x,y) 例6计算=9(x+y+xy+y),其中L为星形线x+y2=da>0) 解L的图形关于x轴与y轴均对称,又因为xy2关于x为奇函数,y2关于y为奇函数, 所以∮xy=0,yd=0.从而=(x+y)由于x+关于,y均为偶 函数,L关于x轴与y轴均对称,故=4.(x+y3)ds(L1为L在第一象限的部分),令 x= acos't,y= asin,则d=√x2+yd=3 a costain dr=3aosi(0≤≤2), 于是 ai(cost+ sin't).3acostsintdt=12a3'(cos tsint sint cost )dr 2a3(-cos6t sint 例7下面的解法是否正确?若有错,请指出错误,并给出正确解法 求[zdy,L;从点A(-R,0)到点B(R,0)的上半圆周x2+y2=R