第90讲线面积分概念题选讲 399 因为被积函数是x的偶函数,且积分曲线关于y轴对称,故 r?d 飞cy=2(-y)yR其中是对应于L的x≥0的部分 解上述解法是不对的.因为对坐标的曲线积分与积分曲线的方向有关,所以计算对 坐标的曲线积分时,不仅要考虑被积函数,还要考虑积分曲线的方向.正确的解法应是:先 将对坐标的曲线积分化成定积分,再考虑利用定积分的对称性化简计算 xdy+|xly,其中L,:x=-√R-y是L位于x≤0的部分其起点 为A(-R,0),终点为C(O,R);L2:x=√R一y是L位于x≥0的部分,其起点为C(0, R),终点为B(R,0).于是 rody=(R2-y2)dy+(r2-y2)dy=0 与三重积分类似,也可以利用对称性简化对面积的曲面积分的计算(空间对弧长的曲线 积分也有类似的化简规律) (1)若积分曲面∑关于xOy面对称,而Σ是Σ上对应于z≥0的部分,则 2(x,y,z)dS,,当∫(x,y,z)关于z为偶函数; f(r,y, z)ds 0 当∫(x,y,z)关于z为奇函数 若积分曲面Σ关于xOz,面或yOz面对称,则也有类似结论 (2)若积分曲面Σ关于xOy面和xOz面均对称,而E1是Σ上对应于z≥0,y≥0的部 分,则 4‖当f(x,y,z)dS,当∫关于y,x均为偶函数 f(r, y, e)ds 当∫关于y或z为奇函数 若积分曲面∑关于xOz面和yOz面均对称,或关于xOy面和yOx面均对称时,也有类 似的结论 (3)若积分曲面∑关于三个坐标面均对称,而Σ是∑上位于第一卦限的部分,则 8f(x,y,x)dsS,当∫关于x,y,z均为偶函数 )ds= 当∫关于x或y或z为奇函数 例8计算r=「(x+y+z)dS,其中∑为上半球面;x=R-x-y 解由于∑关于yOz面对称函数f1(x,y,z)=x是关于x的奇函数,所以‖xdS= 0同理,由于∑关于Ox面对称函数f(x,y,2)=y是关于y的奇函数,所以yds=0 从而r=「ds,从方程x=√R=x-y得dS=√1++=Ed,故I R 例9计算=(x2+3xy2-2y+ds,其中x为圆柱面:x+y=4介于==0