第五节函数的微分 教学目的:掌握微分的定义,了解微分的运算法则,会计算函数的微分,会 利用微分作近似计算 教学重点:微分的计算 教学难点:微分的定义,利用微分作近似计算 教学内容: 、微分的定义 xx2计算函数增量4y=f(x+△x)-f(x)是我们非常 关心的.一般说来函数的增量的计算是比较复杂的,我们 希望寻求计算函数增量的近似计算方法 先分析一个具体问题,一块正方形金属薄片受温度 变化的影响,其边长由0变到x0+△x(图2-1),问此 薄片的面积改变了多少 设此薄片的边长为x,面积为A,则A是x的函 数:A=x2.薄片受温度变化的影响时面积的改变量 可以看成是当自变量x自x0取得增量△x时,函数A相 图2-1 应的增量△A,即 △A=(x0+△x)2-x2=2x0△x+(△x) 从上式可以看出,△A分成两部分,第一部分20△A是△A的线性函数,即图中带 有斜线的两个矩形面积之和,而第二部分△x)在图中是带有交叉斜线的小正方形的面 积,当△x→0时,第二部分(△x)是比△x高阶的无穷小,即△x)2=0(△x).由此可 见,如果边长改变很微小,即△对很小时,面积的改变量△A可近似地用第一部分来代 替. 般地,如果函数y=f(x)满足一定条件,则函数的增量4y可表示为 0(△x) 其中A是不依赖于Δx的常数,因此AAx是△x的线性函数,且它与Ay之差 △y-A△x=0△x) 是比△x高阶的无穷小所以,当A≠0,且对很小时,我们就可近似地用A△x来代 替 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0+Ax及x在这区间内,如果函数的增 f(x0+△x)-f(x0) 可表示为 △y=AAx+ 其中A是不依赖于△x的常数,而0x)是比△x高阶的无穷小,那么称函数 y=f(x)在点x是可微的,而Ax叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量△x的 微 作 dy=AΔ第五节 函数的微分 教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会 利用微分作近似计算 教学重点：微分的计算 教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算 教学内容： 一、微分的定义 计算函数增量 是我们非常 关心的.一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们 希望寻求计算函数增量的近似计算方法. 先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度 变化的影响，其边长由 变到 （图2-1），问此 薄片的面积改变了多少？ 设此薄片的边长为 ，面积为 ，则 是 的函 数： .薄片受温度变化的影响时面积的改变量， 可以看成是当自变量 自 取得增量 时，函数 相 应的增量 ，即 从上式可以看出， 分成两部分，第一部分 是 的线性函数，即图中带 有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分 在图中是带有交叉斜线的小正方形的面 积，当 时，第二部分 是比 高阶的无穷小，即 .由此可 见，如果边长改变很微小，即 很小时，面积的改变量 可近似地用第一部分来代 替. 一般地，如果函数 满足一定条件，则函数的增量 可表示为 其中 是不依赖于 的常数，因此 是 的线性函数，且它与 之差 是比 高阶的无穷小.所以，当 ，且 很小时，我们就可近似地用 来代 替 . 定义 设函数 在某区间内有定义， 及x 在这区间内，如果函数的增 量 可表示为 ，                          ① 其中 是不依赖于 的常数，而 是比 高阶的无穷小，那么称函数 在点 是可微的，而 叫做函数 在点 相应于自变量增量 的 微 分 ， 记 作 ， 即