下面讨论函数可微的条件.设函数y=f(x)在点x可微,则按定义有①式成立① A+ 式两边除以△x,得 Δ Ax 于是,当Δx→>0时,由上式就得到 A= ln Ax 因此,如果函数f(x)在点x0可微,则f(x)在点x也一定可导(即f(x0)存 在),且 A 反之,如果y=f(x)在点x可导,即 存在,根据极限与无穷小的关系,上式可写成 c 其中c→0(当Ax→0).由此又有 △y=f(xo)△x+a△x 因ax=0△x),且不依赖于△x,故上式相当于①式,所以f(x)在点和也是可微 由此可见,有下面定理 定理函数f(x)在点可微的充分必要条件是函数f(x)在点而可导,且当 f(x)在点可微时,其微分一定是 当∫(x)≠0时,有 Ax+0f'(xo AAx f'( 从而,当△x→0时,Ay与是等价无穷小,这时有 +0(4 即小是Ay的主部又由于=()Ax是△x的线性函数,所以在f(x)≠0的 条件下,我们说少是Ay的线性主部(当△x→0),这是由③式有 Ay-ay 从而也有 lm a 式子41表示以中近似代替少y时的相对误差,于是我们得到结论:在 f(x)≠0的条件下,以微分的=f(x)Ax近似代替增量4y=(xo+△x)-f(x 时,相对误差当△x→0时趋于零因此,在△对很小时,有精确度较好的近似等式 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的微分,记作或(x),即下面讨论函数可微的条件.设函数 在点 可微，则按定义有①式成立.① 式两边除以 ，得                . 于是，当 时，由上式就得到 因此，如果函数 在点 可微，则 在点 也一定可导（即 存 在），且 . 反之，如果 在点 可导，即 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成 其中 （当 ）.由此又有 因 ，且不依赖于 ，故上式相当于①式，所以 在点 也是可微 的. 由此可见，有下面定理. 定理 函数 在点 可微的充分必要条件是函数 在点 可导，且当 在点 可微时，其微分一定是                           ② 当 时，有 从而，当 时， 与 是等价无穷小，这时有                          ③ 即 是 的主部.又由于 是 的线性函数，所以在 的 条件下，我们说 是 的线性主部（当 ）.这是由③式有 从而也有 式子 表示以 近似代替 时的相对误差，于是我们得到结论：在 的条件下，以微分 近似代替增量 时，相对误差当 时趋于零.因此，在 很小时，有精确度较好的近似等式 函数 在任意点 的微分，称为函数的微分，记作 或 ，即