§3平面曲线的弧长与曲率 x"(0)=f(0)os0-f(0)sin0-f(0)sin0-f(0)cs [f"(0)-f(0)]cxs0-2f(0)sin0 y(0)=f(asing+ f(a)cos0, y(0)=[f(0)-f(0)lsin0+2f()cs0 故 xy =r4+2 所以 K 5.用上题公式,求心形线r=a(1+s0)(a>0)在=0处的 曲率、曲率半径和曲率圆 解对于心形线r=a(1+cos0)(a>0),由r(0)=2a 0|a=0=0, 0=0=- 10=0=-a 故它在θ=0处的曲率为 K ⊥(2a)2-2a(-a) [(2a)2]2 14 曲率半径为R=1=3a,曲率圆的圆心在x轴上,半径为a,方程 为 )2+y2 6.证明抛物线y=ax2+bx+c在顶点处的曲率为最大 证在点(x,y)处抛物线y=ax2+bx+c的曲率半径为 R(x)= +y2)2(4a2x2+4az+b2+1)2 k 令∫(x)=4a2x2+4abx+b2+1,则 f(x)=8a2x+4ab,f(x)=8a2 所以当x b 时,f( 0,f( b =8a2>0