引理对V中任意向量a,有 f,(a)ei 而对L(V,P)中任意向量f,有 f=∑f(E,) 定理2L(,P)的维数等于V的维数,而且f1,2…,n是L(,P)的一组基 定义2L(P,)称为的对偶空间.由(1)决定L(V,P)的的基,称为 E1,E2,…En的对偶基 以后简单地把V的对偶空间记作V 例考虑实数域R上的n维线性空间V=Px]n,对任意取定的n个不同实数 an,根据拉格朗日插值公式,得到n个多项式 p,(r) (x-a1)…(x-a-1)x-a1)…(x-an) ,i=1,2,…,n. (a1-a1)…(a1-aaa1-a11)…(a1-an) 它们满足 P(a)=1J=1; j≠1,,/=1,2 l0 P(x),P2(x),…,Pn(x)是线性无关的,因为由 C1P,(x)+c2 P2(x)+.+c,P,(x)=0 用a代入,即得 ckP(a)=cP,(a) 又因V是n维的,所以P2(x),P2(x),…,pn(x)是V的一组基 设L∈V'(=1,2,…n)是在点a的取值函数 L(P(x)=p(a1),p(x)∈Hi=1,2,…,n引理 对 V 中任意向量  ，有 = = n i i i f 1  () , (3) 而对 L(V,P) 中任意向量 f ，有 = = n i i i f f f 1 ( ) . (4) 定理 2 L(V,P) 的维数等于 V 的维数，而且 n f , f , , f 1 2  是 L(V,P) 的一组基. 定义 2 L(P,V) 称为 V 的对偶空间.由（1）决定 L(V,P) 的的基，称为 n  , , , 1 2  的对偶基. 以后简单地把 V 的对偶空间记作  V . 例 考虑实数域 R 上的 n 维线性空间 n V = P[x] ，对任意取定的 n 个不同实数 a a an , , , 1 2  ，根据拉格朗日插值公式，得到 n 个多项式 , 1 , 2 , , . ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 i n a a a a a a a a x a x a x a x a p x i i i i i i n i i n i      = − − − − − − − − = = + − + 它们满足 , 1, 2 , , . 0 , , 1, ; ( ) i j n j i j i pi a j =      = = ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x  n 是线性无关的，因为由 c1 p1 (x) + c2 p2 (x)++ cn pn (x) = 0 用 i a 代入，即得 c p a ci pp ai ci i n n k k k i ( ) ( ) 0 , 1,2, , 1  = = = =  = . 又因 V 是 n 维的，所以 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x  n 是 V 的一组基. 设 L V (i 1, 2, ,n) i   =  是在点 i a 的取值函数： L ( p(x)) p(a ), p(x) V .i 1,2, ,n. i = i  = 