则线性函数L满足 L(P/(x)=P(a)1,=/,,j=1,2,…n 0.i≠ 因此,L1,L2…,L是p(x),P2(x)…,Pn(x)的对偶基 下面讨论V的两组基的对偶基之间的关系 设V是数域P上一个n维线性空间E1E2…,En及n1,n2…7n是V的两组基 它们的对偶基分别是f1f2…,fn及g12…,gn再设 (1,n2,…n)=(61,E2,…,En)A (g1,g2…,8n)=(f1,J2,…,fn)B 其中 b1b2…b A B a 由假设 7=a1E1+a2E2+…+anEn,i=1,2,n, g=b,f1+b22+…+bnJ,J=1,2,…,n 因此 g(m)=∑bf(an51+a212+…+anFn) =b,a1+b2,a2+…+b J 0,1≠ 由矩阵乘法定义,即得 BA=E 即 B′=A 定理3设E1E2…En及n1,2…,7n是线性空间V的两组基,它们的对偶基则线性函数 Li 满足 , , 1,2, , . 0 , , 1, ; ( ( )) ( ) i j n i j i j Li p j x p j ai =      = = = 因此， L L Ln , , , 1 2  是 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x  n 的对偶基. 下面讨论 V 的两组基的对偶基之间的关系. 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间. n  , , , 1 2  及   n , , , 1 2  是 V 的两组基. 它们的对偶基分别是 n f , f , , f 1 2  及 g g gn , , , 1 2  .再设 (1 ,2 ,  ,n ) = ( 1 , 2 ,  , n )A (g1 , g2 ,  , gn ) = ( f 1 , f 2 ,  , f n )B 其中               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ,               = n n nn n n b b b b b b b b b B       1 2 21 22 2 11 12 1 由假设 i = a1i  1 + a2i  2 ++ ani n , i =1 , 2 ,  ,n , gi = b1 j f 1 + b2 j f 2 ++ bnj f n , j = 1, 2,  ,n . 因此 i j n i j i j b a b a b a g b f a a a j i j i nj ni i i ni n n k j i kj k , 1 , 2 , , 0 , , 1 , ; ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1    =     = = = + + + =  + + + =     由矩阵乘法定义，即得 BA = E 即 −1 B = A 定理 3 设 n  , , , 1 2  及   n , , , 1 2  是线性空间 V 的两组基，它们的对偶基