空间点(x,y,z)在球极坐标系下就变成了(r,θ,中),直角坐标与球极坐标具有如下 的转换关系 K=ISIn Ucos x= rsin esinφ 球极坐标系下的拉普拉斯算符 i日 rsin 0 a0 00)r2sm20aφ 单电子原子的薛定谔方程: (2),m)2m(:txy=0 式中ψ≡ψ(r,O,φ)。 这就是转换为球极坐标系后的拉普拉斯算符以及单电子原子的薛定谔方程。其中波 函数ψ是球极坐标r,θ,φ的函数。对于这样的三变量偏微分方程,就可以进行分离 变量,使其变为三个常微分方程来分别处理。下面我们来进行分离变量。 将与r,0,φ有关的波函数ψ写成三个独立函数R,e,Φ的乘积,其中R是矢径r 的单变量函数;⊙是θ的单变量函数;Φ是φ的单变量函数。既 ψ(r,0,φ)=R(r)(0)中(φ 代入薛定谔方程,两边同乘以r2sin20/(R⊙φ),可得 1d2φ(sn2b dr 0d R de_ 2sin20(E-v) 左边=f(中),右边=g(r,0),由于r、θ、中都是独立变量,两边必须均为常数。 令这个常数=一m,则左端得 d2Φ/dφ2=-m 称其为Φ方程 右边等式移项可得 R/b(b)分(E-1)=、分2 1)d(.AR),2um2 d sin-6Osin0 de4 空间点(x,y,z)在球极坐标系下就变成了(r,θ,φ)，直角坐标与球极坐标具有如下 的转换关系：x＝rsinθcosφ x＝rsinθsinφ x＝rcosθ 球极坐标系下的拉普拉斯算符 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1          +           +           = r sin sin r r sin r r r 单电子原子的薛定谔方程: 0 4 1 1 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =         + +    +           +                       r Ze E r sin sin r r sin r r r  式中 ψ＝ψ(r,θ,φ)。 这就是转换为球极坐标系后的拉普拉斯算符以及单电子原子的薛定谔方程。其中波 函数ψ是球极坐标 r,θ,φ的函数。对于这样的三变量偏微分方程，就可以进行分离 变量，使其变为三个常微分方程来分别处理。下面我们来进行分离变量。 将与 r,θ,φ有关的波函数ψ写成三个独立函数 R,Θ,Φ的乘积，其中 R 是矢径 r 的单变量函数；Θ是θ的单变量函数；Φ是φ的单变量函数。既 ψ(r,θ,φ)＝R(r)Θ(θ)Φ(φ) 代入薛定谔方程，两边同乘以 r 2 sin2θ/(RΘΦ)，可得: sin ( ) 2 sin 1 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 r E V d d d d dr dR r dr d d R d  − −             −              = −              左边=f(φ),右边=g(r, θ),由于 r、θ、φ都是独立变量，两边必须均为常数。 令这个常数＝－m 2，则左端得: d 2Φ/dφ2＝－m 2Φ 称其为Φ方程 右边等式移项可得              + − = −                    d d d m d E V r dr dR r dr d R sin sin 1 sin ( ) 1 2 2 2 2 2 2 