左边是r的函数,右边是θ的函数,r和θ都是独立变量。等式两边相等的条件是 必须都等于常数。令常数为1(1+1),由右边=1(1+1)整理得⊙方程 sin de sn edo)2 l(+1) d0)sin2 8 由左边=1(1+1)整理得R方程 I dd E-1)R=l(+1) R r 2 dr dr 至此,薛定谔方程就分离成为分别以r,θ,φ为变量的三个常微分方程,Φ方程、 e方程和R方程。只要将这三个方程分别求解,得到Φ,⊙,R,然后将其乘在一起,就 得到薛定谔方程的解波函数ψ。下面我们将分别解这三个方程。 (1)Φ方程的解 dΦ/dφ2=-m-①方程 Φ方程是一个二阶常系数齐次线性方程,它的复数通解为 (imφ) 由于通解是复函数,复数形式的解不便于作图,为波函数和电子云作图的需要,可根 据态叠加原理,将Φ方程的两个独立特解进行线性组合,得到Φ方程的实函数解。该 通解有两个实函数解 )=7si(m) 其中m称为磁量子数,m=0,±1,±2,,。 Φ(φ)是一个单值连续函数,在球极坐标系中φ是循环坐标,其定义域为0到2π, 由于波函数的单值性,当φ坐标增加2π后坐标点仍为原处,因此φ仍取原值。即 φ(中)=φ(φ+2π),由三角函数的周期性可得m只能是零或者整数。 sin(|m|φ)=sin(|m|中+2|m|)5 左边是 r 的函数，右边是θ的函数，r 和θ都是独立变量。等式两边相等的条件是 必须都等于常数。令常数为 l(l＋1)，由右边＝l(l＋1)整理得Θ方程         ( 1) sin sin sin 1 2 2  + = +            − l l m d d d d 由左边＝l(l＋1)整理得 R 方程 2 2 2 2 ( ) ( 1) 1 2 r R E V R l l dr dR r dr d r  + − = +        至此，薛定谔方程就分离成为分别以 r，θ，φ为变量的三个常微分方程，Φ方程、 Θ方程和 R 方程。只要将这三个方程分别求解，得到Φ,Θ,R，然后将其乘在一起，就 得到薛定谔方程的解波函数ψ。下面我们将分别解这三个方程。 (1)Φ方程的解 d 2Φ/dφ2＝－m 2Φ ------Φ方程 Φ方程是一个二阶常系数齐次线性方程，它的复数通解为 ( ) exp( ) 2 1     = im 由于通解是复函数，复数形式的解不便于作图，为波函数和电子云作图的需要，可根 据态叠加原理，将Φ方程的两个独立特解进行线性组合，得到Φ方程的实函数解。该 通解有两个实函数解： ( ) sin( ) 1     = m ； ( ) cos( ) 1     = m 其中 m 称为磁量子数，m=0, ±1，±2，...。 Φ(φ)是一个单值连续函数，在球极坐标系中φ是循环坐标，其定义域为 0 到 2π， 由于波函数的单值性，当 φ 坐标增加 2π后坐标点仍为原处，因此 Φ 仍取原值。即 Φ(φ)=Φ(φ+2π)，由三角函数的周期性可得 m 只能是零或者整数。 sin(|m|φ)=sin(|m|φ+2|m|π)