SVD 定理：AAT和ATA有着相同的非零特征值。 证明：考虑AAT的特征值≠0和特征向量u:AATu=λu ATA(ATu)=AT(AATu)=AT(Au)=A(ATu) 可见，只要ATu≠0，则ATu为ATA的一个特征向量，特征值也是。不 妨假设ATu=0,则AATu=A(ATu)=0,与≠0矛盾。 类似地，考虑ATA的特征值)≠0和特征向量v:ATAv=λv,也有 AAT(Av)=A(ATAv)=A(Av)=A(Av). 同理有Av≠0，因此Av为AAT的一个特征向量，特征值也是λ。 3 SVD 定理：���和���有着相同的非零特征值。 证明：考虑���的特征值� ≠ �和特征向量�： ���� = �� ��� ��� = �� ���� = �� �� = �(���) 可见，只要��� ≠ �，则���为 ���的一个特征向量，特征值也是�。不 妨假设��� = �，则���u = � ��� = �，与 � ≠ �矛盾。 类似地，考虑���的特征值� ≠ �和特征向量�： ���� = ��，也有 ��� �� = � ���� = � �� = � �� . 同理有 �� ≠ �，因此��为 ���的一个特征向量，特征值也是�。 3