同样可以定义高阶微商的概念。微商∫"(x)称为fx)的一阶微商：∫'(x)的微商称为f(x)的二 阶徽商；fx)的k阶微商记为∫(x)。 定理6如果不可约的多项式px)是f(x的k重因式(k≥)，那么它是微商f"(x)的k-1重因 式。 证明由假设，x)可以分解为 f(x)=p*(x)g(x) 其中p(x)不能整除g(x)。因此 f(x)=p(x)(kg(x)p'(x)+p(x)g'(x)) 这说明p-(xf"(x)。如果令 h(x)=kg(x)p(x)+p(x)g'(x) 那么p(x)整除等式右端的第二项，但不能整除第一项。因此(x)不能整除h(x),从而p(x) 不能整除f"(x)。这说明p(x)是∫"(x)的k-1重因式。 推论1如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1)，那么p(x)是 f(x),f"(x),…,(x)的因式，但不是f(x)的因式。 证明根据定理6，对k作数学归纳法即得。 推论2不可约多项式px)是f(x)的k重因式的充分必要条件为px)是f(x)与f"(x,)的 公因式。 证明(x)的重因式必须是∫"(x)的因式：反之，如果(x)的不可约因式也是∫"(x)的因式， 它必定不是f(x)的单因式。 推论3多项式fx)没有重因式的充分必要条件是f(x)与f"(x)互素。 这个推论表明，判别一个多项式有没有重因式，可以通过代数运算一辗转相除法来解决， 这个方法甚至是机械的。下面给出一种有效方法。 设f(x)具有标准分解式 f(x)=c甲"(x)P2”(x)…P,'(x) 根据定理6，(x)与∫"(x)的最大公因式必须具有标准分解式 p(xp-(x…p-(x)同样可以定义高阶微商的概念。微商 f (x) 称为 f (x) 的一阶微商； f (x) 的微商称为 f (x) 的二 阶微商； f (x) 的 k 阶微商记为 ( ) ( ) f x k 。 定理 6 如果不可约的多项式 p(x)是f (x)的k 重因式 (k  1), 那么它是微商 f (x) 的 k −1 重因 式。 证明 由假设， f (x) 可以分解为 f (x) p (x)g(x) k = 其中 p(x) 不能整除 g(x) 。因此 ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( )) 1 f x p x k g x p x p x g x k  =  +  − 这说明 ( ) ( ) 1 p x f x k  − 。如果令 h(x) = k g(x) p (x) + p(x)g (x) 那么 p(x) 整除等式右端的第二项，但不能整除第一项。因此 p(x) 不能整除 h(x) ，从而 p (x) k 不能整除 f (x) 。这说明 p(x) 是 f (x) 的 k −1 重因式。 推 论 1 如 果 不 可 约 多 项 式 p(x) 是 f (x) 的 k 重 因 式 (k  1) ， 那 么 p(x) 是 ( ), ( ), , ( ) ( 1) f x f x f x k−   的因式，但不是 f (x) k 的因式。 证明 根据定理 6，对 k 作数学归纳法即得。 推论 2 不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式的充分必要条件为 p(x) 是 f (x) 与 f (x) 的 公因式。 证明 f (x) 的重因式必须是 f (x) 的因式；反之，如果 f (x) 的不可约因式也是 f (x) 的因式， 它必定不是 f (x) 的单因式。 推论 3 多项式 f (x) 没有重因式的充分必要条件是 f (x) 与 f (x) 互素。 这个推论表明，判别一个多项式有没有重因式，可以通过代数运算—辗转相除法来解决， 这个方法甚至是机械的。下面给出一种有效方法。 设 f (x) 具有标准分解式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x cp x p x p x s r s r r =  根据定理 6， f (x) 与 f (x) 的最大公因式必须具有标准分解式 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 2 p x p x p x s r s r − r − − 