证明:取定n>2.定义Am= f(t)dt), 1,x∈ g(a rg∪ (5分) 对于0≤a<B≤1,设非负整数k<C满足一≤a< k+1 e C+1 则 (f(x)-g(x) M-0+/(-0)山+厂U(- 1dx+0+/1d 证毕 (10分) 八、(10分)已知φ:(0,+∞)→(0,+∞)是一个严格单调下降的连续函数,满 足 m p(t) 若 p(t)dt p-(t)dt=a<+∞o 其中φ-表示y的反函数.求证: p()2at+/-1(t)2dt≥a 证明:令P=y(0),Q=y-1t)t,r=a-P-Q,其中m=a (2分) 第7页(共8页)y²: ½ n > 2 ε . ½Â Am = hm n , m n + Z m+1 n m n f(t) dt´ , g(x) =    1, x ∈ n[−1 m=0 Am, 0, x 6∈ n[−1 m=0 Am. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 ©) éu 0 ≤ α < β ≤ 1, šKê k ≤ ` ÷v k n ≤ α < k + 1 n , ` n ≤ β < ` + 1 n , K ¯ ¯ ¯ Z β α ¡ f(x) − g(x) ¢ dx ¯ ¯ ¯ ≤ Z k+1 n α |f(x) − g(x)| dx + ¯ ¯ ¯ Z ` n k+1 n ³ f(x) − g(x) ´ dx ¯ ¯ ¯ + Z β ` n |f(x) − g(x)| dx ≤ Z k+1 n α 1 dx + 0 + Z β ` n 1 dx ≤ 2 n < ε. y.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(10 ©) ✷ l!(10 ©) ® ϕ : (0, +∞) → (0, +∞) ´‡î‚üNeüëY¼ê, ÷ v lim t→0+ ϕ(t) = +∞. e Z +∞ 0 ϕ(t) dt = Z +∞ 0 ϕ −1 (t) dt = a < +∞, Ù¥ ϕ −1 L« ϕ ‡¼ê. ¦y: Z +∞ 0 [ϕ(t)]2 dt + Z +∞ 0 [ϕ −1 (t)]2 dt ≥ 1 2 a 3 2 . y²: - P = R +∞ p ϕ(t) dt, Q = R +∞ q ϕ −1 (t) dt, I = a − P − Q, Ù¥ pq = a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ©) 17 (
8)