这就又排除了双曲抛物面的可能(双曲抛物面的同族直母线都异面,不同族直 母线都相交),所以只可能是单叶双曲面 (15分) 注:这个曲面其实是(不要求学生写出方程式) 六、(20分)设A为n×n实矩阵(未必对称),对任一n维实向量a≡ (a1,…,an),aAa≥0(这里a表示a的转置),且存在n维实向量B,使 得BAB=0,同时对任意n维实向量x和y,当Ay≠0时有xAy+y4x≠0 证明:对任意n维实向量v,都有vA=0 证明:取任意实数r,由题设知 (v+rB)A(v+rB)≥0 (8分) vAu+ruAB+rBAv+r BAB>0 12分) 亦即 VAz T AB+BA1)+r2AB≥0. (14分) 若vAB≠0,则有vAT+BA≠0.因此可取适当的实数r使得 A6+ 6A 盾.证毕 (20分) 七、(10分)设∫在区间间0,1上 Rieman可积,0≤∫≤1.求证:对任 何ε>0,存在只取值0,1的分段(段数有限)常值函数g(x),使得Va,月≌[0,1], (f(a)-g(a)dx< 第6页(共8页)ùÒqüØ V­Ô¡ŒU(V­Ô¡ Óx†1‚ÑÉ¡§ØÓx† 1‚у), ¤±ŒU´üV­¡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(15 ©) 5: ù‡­¡Ù¢´(؇¦Æ)ѐ§ª) (x − 2)2 + y 2 − z 2 4 = 1. 8!(20 ©)  A  n × n ¢Ý (™7é¡), é? n ‘¢•þ α ≡ (α1, . . . , αn), αAα> ≥ 0 (ùp α > L« α =), …3 n ‘¢•þ β, ¦  βAβ> = 0, Ӟé?¿ n ‘¢•þ x Ú y,  xAy> 6= 0 žk xAy> +yAx> 6= 0. y²: é?¿ n ‘¢•þ v, Ñk vAβ> = 0. y²: ?¿¢ê r, dK (v + rβ)A(v + rβ) > ≥ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 ©) = vAv> + rvAβ> + rβAv> + r 2βAβ> ≥ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(12 ©) ½= vAv> + r ³ vAβ> + βAv> ´ + r 2βAβ> ≥ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(14 ©) e vAβ> 6= 0, Kk vAβ> + βAv> 6= 0. ÏdŒ·¢ê r ¦ vAv> + r ³ vAβ> + βAv> ´ + r 2βAβ> < 0. ñ. y.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(20 ©) ✷ Ô!(10 ©)  f 3«m [0, 1] þRiemann ŒÈ, 0 ≤ f ≤ 1. ¦y: é? Û ε > 0, 3Š 0, 1 ©ã(ãêk)~Š¼ê g(x), ¦ ∀ [α, β] ⊆ [0, 1], ¯ ¯ ¯ Z β α ¡ f(x) − g(x) ¢ dx ¯ ¯ ¯ < ε. 16 (
8)