第七章量子力学的矩阵形式和表象变换 §71态和力学量的表象和表象变换 1.态的表象 在量子力学中,描写量子态和力学量的方式不是唯一的。一种具体的方式称为一种表象。我们在前 面已经介绍过坐标表象和动量表象。在一维情况下,用(x,1)描写量子态是坐标表象,用Φ(p,1)描写 量子态是动量表象,它们之间是 Fourier变换的关系。这两种表象都是连续表象 现在介绍一般的离散表象。取一个力学量O( Hermitian算符),假设它的本征值集是离散的,记为 q12q2…},本征函数系记为{(x),u2(x)…}。为简单起见,先设所有的本征值都是非简并的。那么 这个本征函数系的正交归一性就是 (um,(x), u, (x))=8 而它的完备性是(假设它是完备的) ∑un(x)u2( 所以,任意一个波函数H(x,1)都可以对{un(x)}展开,得到 (x,1)=∑an()un(x) 其中 an()=(un(x),平H(x,) 我们称这样做是变换到了Q表象,{an(1),n=1,2,…}也可以称为Q表象中的“波函数”。 更方便的记法是把{an()}排成矩阵 a1(1) (1) an(1) 它称为O表象中的态矢量,而 平(O)=(ai(a(O)…,(.) 称为 Hermitian共轭的态矢量。显然我们有 H(HO)=∑|a()2=((x.),(x) 这里第一个式子的中运算是矩阵乘法,即行乘以列,最后一个式子表示(x,D)的内积 在这里,{un(x)}又称为Q表象的基矢量或基底,{an(1)}又称为态矢量的分量或投影。之所以采 这些术语,在本质上是由于量子态满足叠加原理,所以在数学上它们构成一个线性空间,或者称为矢 空间,这个空间称为给定算符的(或给定系统的)Hbet空间 如果算符Q的本征值是连续谱,以上各式就要做相应的改变。设Q的本征值记为q∈(-∞,+∞) 本征函数系记为{4(x)},那么它的正交归一性是 (4(x),n(x)=∫n(x)n(x)x=6q-9 完备性是 ∫n(x)c(x)d=b(x-x) 任意波函数H(x,D1)对{(x)的展开式是 H(x,D)=「=q)x1(xd 其中1 第七章 量子力学的矩阵形式和表象变换 §7.1 态和力学量的表象和表象变换 1. 态的表象 在量子力学中，描写量子态和力学量的方式不是唯一的。一种具体的方式称为一种表象。我们在前 面已经介绍过坐标表象和动量表象。在一维情况下，用 (x,t) 描写量子态是坐标表象，用 ( , ) p t 描写 量子态是动量表象，它们之间是 Fourier 变换的关系。这两种表象都是连续表象。 现在介绍一般的离散表象。取一个力学量 Q ˆ （Hermitian 算符），假设它的本征值集是离散的，记为 { , , } q1 q2  ，本征函数系记为 { ( ), ( ), } u1 x u2 x  。为简单起见，先设所有的本征值都是非简并的。那么 这个本征函数系的正交归一性就是 (u x u x m n mn ( ), ( ) , ) =  而它的完备性是（假设它是完备的） ( ) ( ) ( ). n n n u x u x x x      = − 所以，任意一个波函数 (x,t) 都可以对 {u (x)} n 展开，得到 ( , ) ( ) ( ), n n n  = x t a t u x  其中 a t u x x t n n ( ) ( ), ( , ) . =  ( ) 我们称这样做是变换到了 Q ˆ 表象，{ ( ), 1, 2, } n a t n = 也可以称为 Q ˆ 表象中的“波函数”。 更方便的记法是把 { ( )} n a t 排成矩阵 , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1                  =   a t a t a t t n 它称为 Q ˆ 表象中的态矢量，而 ( ) ( ( ), ( ), , ( ),) 1 2 t a t a t a t n +     = 称为 Hermitian 共轭的态矢量。显然我们有 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( , ), ( , ) , n n t t a t x t x t +   = =    这里第一个式子的中运算是矩阵乘法，即行乘以列，最后一个式子表示 ( , ) x t 的内积。 在这里， {u (x)} n 又称为 Q ˆ 表象的基矢量或基底，{a (t)} n 又称为态矢量的分量或投影。之所以采 用这些术语，在本质上是由于量子态满足叠加原理，所以在数学上它们构成一个线性空间，或者称为矢 量空间，这个空间称为给定算符的（或给定系统的）Hilbert 空间。 如果算符 Q ˆ 的本征值是连续谱，以上各式就要做相应的改变。设 Q ˆ 的本征值记为 q  − +  ( , ) ， 本征函数系记为 { ( )} q u x ，那么它的正交归一性是 (u x u x u x u x dx q q q q q q ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), )     = = −   完备性是 ( ) ( ) ( ). q q u x u x dq x x     = −  任意波函数 (x,t) 对 { ( )} q u x 的展开式是 ( , ) ( , ) ( ) , q  =  x t q t u x dq  其中