银川能源学院《高签数学》救案 第一童函数、极限与连然 第四节无穷小与无穷大 一、无穷小 如果函数x)当xxo(或x→o)时的极限为零，那么称函数x)为当 x→xo(或x→0)时的无穷小. 特别地，以零为极限的数列{xm}称为n→oo时的无穷小. 例如， 因为一上0，所以函数！为当x∞时的无穷小 因为mmx-)=0,所以函数为x-1当x→1时的无穷小. 因为一中=0，所以数列{中为当n→时的无穷小 讨论：很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？ 提示：无穷小是这样的函数，在xxo(或x→o)的过程中，极限为零.很小 很小的数只要它不是零，作为常数函数在自变量的任何变化过程中，其极限就 是这个常数本身，不会为零 二、无穷小与函数极限的关系： 定理1在自变量的同一变化过程x→xo(或x→o)中，函数x)具有极限A 的充分必要条件是x上A+a,其中a是无穷小， 证明：设imfx)=4,8>0,36>0,使当0<-xok6时，有 了→气a fx)-A<s. 令ax)-A,则a是x→xo时的无穷小，且 Ax)=A+a. 这就证明了x)等于它的极限A与一个无穷小之和， 反之，设x)=A+a,其中A是常数，是x→xo时的无穷小，于是 x)-A=|a4. 因a是xo时的无穷小，V>0,36>0,使当0<r-xok6,有 |ak8或x)-Aks 这就证明了A是x)当x→xo时的极限. 简要证明：令ax)-A,则x)-A=|a4. 如果Vε>0,3δ>0，使当0<r-xokδ，有x)-Aks,就有k; 反之如果Vε>0,36>0，使当0<r-xok6,有ak6,就有x)-A<8 这就证明了如果A是x)当x→xo时的极限，则α是x→xo时的无穷小： 如果a是x→xo时的无穷小，则A是x)当x→x时的极限. 类似地可证明x→o时的情形. 例如因为器京，面▣京0，所以器分 02r321 第18页银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 18 页 第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小 如果函数 f(x)当 xx0(或 x)时的极限为零 那么称函数 f(x)为当 xx0(或 x)时的无穷小 特别地 以零为极限的数列{xn}称为 n时的无穷小 例如 因为 0 1 lim  x x  所以函数 x 1 为当 x时的无穷小 因为 lim( 1) 0 1    x x  所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小 因为 0 1 1 lim  n n  所以数列{ 1 1 n }为当 n时的无穷小 讨论 很小很小的数是否是无穷小？0 是否为无穷小？ 提示 无穷小是这样的函数 在 xx0(或 x)的过程中 极限为零 很小 很小的数只要它不是零 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就 是这个常数本身 不会为零 二、无穷小与函数极限的关系 定理 1 在自变量的同一变化过程 xx0(或 x)中 函数 f(x)具有极限 A 的充分必要条件是 f(x)A 其中  是无穷小 证明 设 f x A x x   lim ( ) 0   0    0 使当 0|xx0| 时 有 |f(x)A|  令 f(x)A 则  是 xx0 时的无穷小 且 f(x)A  这就证明了 f(x)等于它的极限 A 与一个无穷小  之和 反之 设 f(x)A  其中 A 是常数  是 xx0 时的无穷小 于是 |f(x)A||| 因  是 xx0 时的无穷小  0    0 使当 0|xx0|  有 || 或|f(x)A| 这就证明了 A 是 f(x) 当 xx0 时的极限 简要证明 令 f(x)A 则|f(x)A||| 如果 0    0 使当 0|xx0|  有 f(x)A| 就有||  反之如果 0    0 使当 0|xx0|  有|| 就有 f(x)A|  这就证明了如果 A 是 f(x) 当 xx0 时的极限 则  是 xx0 时的无穷小 如果  是 xx0 时的无穷小 则 A 是 f(x) 当 xx0 时的极限 类似地可证明 x时的情形 例如 因为 3 3 3 2 1 2 1 2 1 x x x     而 0 2 1 lim 3  x x  所以 2 1 2 1 lim 3 3    x x x 