高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 由 02(x,)s、h+(2 F1-+F2 式中 F1=F1 y F2=F2(x+ a(a, y) (a, y) 进一步可以计算 :(-)(n+)-(-) 式中 F1-F2 Oy 22+ao aF1「OF2 x2)=y y 其中 az aF 10z (, y)= Fll aF y)=F2 +F21+ dy (a2)(x0=(0 类似可作其它处理。 事例3.证明:由方程 y=ro(a)+v(a) 定义的隐函数z=2(x,y)满足方程 ()器-2+()m=0 解.设f =x0(x)+v(x)-y∈R,当有D2f=x(x)+v(x)≠0,则局部有 z=z(x,y),亦即有 (x,y))=0∈R 故有 Dr=f+ D: Dz(a,y)=[o-11+(aro(a)+v(2) anb|=0∈2x 0z0微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 注：由 ∂z ∂x(x, y) = − F1 + F2 ( − z x 2 ) F1 1 y + F2 1 x 式中 F1 = F1 ( x + z(x, y) y , y + z(x, y) x ) F2 = F2 ( x + z(x, y) y , y + z(x, y) x ) 进一步可以计算 ∂ 2 z ∂y∂x = − ∂ ∂y ( F1 − F2 z x 2 ) ( F1 1 y + F2 1 x ) − ( F1 − F2 z x 2 ) ∂ ∂y ( F1 1 y + F2 1 x ) ( F1 1 y + F2 1 x )2 式中 ∂ ∂y ( F1 − F2 z x 2 ) = ∂F1 ∂y − [ ∂F2 ∂y z x 2 + F2 ∂ ∂y ( z x 2 ) ] 其中 ∂F1 ∂y (x, y) = F11 y ∂z ∂y − z y 2 + F12 ( 1 + 1 x ∂z ∂x) ∂F2 ∂y (x, y) = F21 y ∂z ∂y − z y 2 + F22 ( 1 + 1 x ∂z ∂y) ∂ ∂y ( z x 2 ) (x, y) = 1 x 2 ∂z ∂y (x, y) 类似可作其它处理。 事例 3. 证明：由方程 y = xϕ(z) + ψ(z) 定义的隐函数 z = z(x, y) 满足方程 ( ∂z ∂y)2 ∂ 2 z ∂x2 − 2 ∂z ∂x ∂z ∂y ∂ 2 z ∂x∂y + ( ∂ 2 z ∂x )2 ∂ 2 z ∂y2 = 0 解. 设 f ([x y ] , z) = xϕ(z) + ψ(z) − y ∈ R，当有 Dzf = xϕ′ (z) + ψ ′ (z) ̸= 0，则局部有 z = z(x, y)，亦即有 f ([x y ] , z(x, y) ) = 0 ∈ R 故有 D[ x y ]f + DzfDz(x, y) = [ϕ − 1] + ( xϕ′ (z) + ψ ′ (z) ) [ ∂z ∂x ∂z ∂y ] = 0 ∈ R 1×2 9