高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 3.进一步可研究隐映照的二阶偏导数,如现有 a U-u+2r 式中x=x(u,v,u)。由此,可有 类似可作处理。 事例2.函数z=z(x,y)由方程 给出。证明 解.考虑 如有Df=F1+F2≠0,则局部有z=2(x,y,即有 0 y 故有 DIlf+D-fDz(a, y)=Fi+F2 +F2+(F1-+F2 0∈R1×2 即有 F1+F2 F1-+F2 +F2 (x,y) F1-+F2 由此可有 F1x-2-F12+F2 F1-+F2微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 3. 进一步可研究隐映照的二阶偏导数，如现有 ∂x ∂w(u, v, w) = u 2 v − 1 v − u + 2x 式中 x = x(u, v, w)。由此，可有 ∂ 2x ∂v∂w(u, v, w) = u 2 (v − u + 2x) − (u 2 v − 1) ( 1 + 2 ∂x ∂v (u, v, w) ) (v − u + 2x) 2 类似可作处理。 事例 2. 函数 z = z(x, y) 由方程 F ( x + z y , y + z x ) = 0 给出。证明： x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = z − xy 解. 考虑 f ([x y ] , z) = F ( x + z y , y + z x ) 如有 Dzf = F1 1 y + F2 1 x ̸= 0 ，则局部有 z = z(x, y)，即有 f ([x y ] , z(x, y) ) = 0 故有 D[ x y ]f + DzfDz(x, y) = [ F1 + F2 ( − z x 2 ) F1 ( − z y 2 ) + F2 ] + ( F1 1 y + F2 1 x ) [ ∂z ∂x(x, y) ∂z ∂y (x, y) ] = 0 ∈ R 1×2 即有 ∂z ∂x(x, y) = − F1 + F2 ( − z x 2 ) F1 1 y + F2 1 x ∂z ∂y (x, y) = − F1 ( − z y 2 ) + F2 F1 1 y + F2 1 x 由此可有 x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = − F1x − F2 z x − F1 z y + F2y F1 1 y + F2 1 x = z − xy 8