(系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等) 再写出最后一个矩阵所对应的方程组便得到(3)的同解方程组: x1-2x2+3x3+x4+x5=7 3x,-4x3-2x4-3 2 2 0 自下而上回代,解出用x5表达x1,x2,x,x4的结果 x1=3+2x x2=1+x(x可任意,称为自由未知量) 所以(3)有无穷多解 一般地,我们得到下述关于线性方程组有解的判别定理: 定理1线性方程组 aux,+aux+.+aux=b, a2x+a,,x,+.+a,,x,=b, amIx+am2x2+.+amx,= b 有解的充要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等,即R(A)=R(B)。 b 其中A=aa2 B= 22 AB, b 证:利用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形 d p()→(C2)0c 0|d 00 (不妨设c1,ca…cx不为零) 相应地,方程组(4)就化为与它同解的阶梯形方程组（系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等） 再写出最后一个矩阵所对应的方程组便得到（3）的同解方程组： 自下而上回代，解出用 x5表达 x1，x2，x3，x4的结果：        = = − = + = + 4 5 3 5 2 5 1 5 2 2 1 3 2 x x x x x x x x （ 5 x 可任意，称为自由未知量） 所以（3）有无穷多解。 一般地，我们得到下述关于线性方程组有解的判别定理： 定理 1 线性方程组        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b    1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ........................................... 有解的充要条件是它的系数矩阵 A 与增广矩阵 B 的秩相等，即 R(A)=R(B)。 其中 A=               m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 ，B=               mn m n n m m b b b a a a a a a a a a         2 1 2 1 2 22 12 1 21 11 = ( ) A B1 证：利用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形 B= ( ) A B1 → D= ( ) C D1 =                     + 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 1 1                     r rn r n rr r d d d c c c c c （不妨设 c11,c22 …crr不为零） 相应地，方程组（4）就化为与它同解的阶梯形方程组        − = + = − − − = − − + + + = 2 0 2 3 4 2 3 5 2 3 7 4 5 3 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x