0=d 0=0 由于初等行变换不改变矩阵的秩,所以R(A)=R(C),R(B)=R(D) (i)必要性若方程组(4)有解,则方程组(5)也有解,故d-=0, 这时R(D)=R(C),从而R(A)=R(B)。 (ⅱ)充分性若R(A)=R(B),于是R(C)=R(D)因而d-=0,所以 方程组(5)有解,从而方程组(4)有解。 定理2若方程组(4)的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等,且等于r, R(A)=R(B)=r,则 (i)当r=n时,(4)有唯一解 (i)当r<n时,(4)有无穷多解 推论当mn时,齐次线性方程组 1x1+al12x2+……+a1 a1x1+a2x2+…+a2nxn=0 (6) ax,+am,x 必有非零解。 x1+2x,+Ax2=2 例5问λ取何值时,方程组{2x+4x2+6x=4 Ax;+6x,+9x3=6 (1)无解;(2)有唯一解;(3)有无穷多解 解:将增广矩阵化为上阶梯形 B=(4B/22,2/2) A64 0--46-240 696 4 (2+63-4)2(3 讨论:1.当λ=-6时,R(A)(R(B),故方程组无解。 2.当λ≠-6,λ≠3时,R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解: 1+6+6 +6           = = = + = + + = + 0 0 0 0 0 1 11 1 1 1 1      r rr r rn n r r r n n d c x c x d c x c x c x d （5） 由于初等行变换不改变矩阵的秩，所以 R（A）=R（C），R（B）=R（D）。 （ⅰ）必要性 若方程组（4）有解，则方程组（5）也有解，故 dr+1=0， 这时 R（D）=R（C），从而 R（A）=R（B）。 （ⅱ）充分性 若 R（A）=R（B），于是 R（C）=R（D）因而 dr+1=0，所以 方程组（5）有解，从而方程组（4）有解。 证毕 定理 2 若方程组（4）的系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩相等，且等于 r， R（A）=R（B）=r，则 （ⅰ）当 r=n 时，（4）有唯一解； （ⅱ）当 r<n 时，（4）有无穷多解。 推 论 当 m<n 时，齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     （6） 必有非零解。 例 5 问λ取何值时，方程组        + + = + + = + + = 6 9 6 6 4 3 4 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x    （1）无解 ； （2） 有唯一解 ； （3） 有无穷多解 解： 将增广矩阵化为上阶梯形 B= ( ) A B1 =             6 9 6 6 4 3 4 2 1 2 2    ⎯r⎯2 −2⎯r1 ,r3 −⎯r1→             − − − − −       0 6 2 9 6 2 4 6 2 0 3 4 0 1 2 2 2 ⎯⎯⎯⎯→ − − 3− 2 4 3 4 6 2 r r   ( )( ) ( )             + − − − −       0 0 6 3 2 3 4 6 2 0 3 4 0 1 2 2 讨论：1.当λ=-6 时，R（A）〈R（B），故方程组无解。 2.当λ≠-6，λ≠3 时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解： x3= 6 2  + , x2= 6 3  + , x1= 6 6  +