控制原理电子教 x」[0 Ga」[0 对于任一状态反馈增益阵R=;k2,状态反馈系统的特征方程为 fa)=deth1-(A+Bk) det(2/ A2「B K 0 (8. det//-Ac-B, K, -A12-B, K detp1-A-BK1detA1-A2]=0 因此,只有当系统完全能控时,才有可能任意配置状态反馈系统的闭环极 点。必要性得证 充分性证明:下面只证明单输入单输出的情况。由前面的论述,若{A4b}是 能控的,则存在非奇异线性变换x=Tx,将{Ab}化为第一能控标准型 0 0 0 容易求得状态反馈闭环系统的特征多项式为 f(A)=”+(an-1-kn)A-1+…+(a1-k2)2+(a0-k1)(8.12) 设闭环系统的期望极点为A1,A2 λn,则系统的期望特征多项 式为 ∫(λ)=(-A1)(-A2)…(2-n) 要使闭环系统的极点取期望值,只须令 f(元)=f(λ) 比较上式两边系数得: 因此 从而得到对于状态X下的状态反馈增益阵为 K an-Ia (8.16) 上式表明,总存在状态反馈增益矩阵,使系统具有给定的期望特征多项式。充 分性得证 注意,用输出反馈不能保证能够任意配置系统的极点。 若系统{ABC不是状态完全能控,则状态反馈系统的一部分闭环极点就是 对象不能控部分的极点,这部分极点是不能被配置的。显然,如果不能控的极 点全部是稳定极点,则可以采用状态反馈使能控部分的极点配置到期望值,从 浙江工业大学自动化研究所自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 u B x x A A A x x c c c c c c ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 ~ ~ ~ ~ 0 ~ ~ ~ ~ 12 1 & & (8.10) 对于任一状态反馈增益阵 [ ] 1 2 ~ ~ ~ K = K K ，状态反馈系统的特征方程为 [ ] ] 0 ~ ]det[λ ~ ~ ~ det[λ ~ 0 λ ~ ~ ~ ~ ~ ~ λ det } ~ ~ 0 ~ ~ 0 ~ ~ det{ )] ~ ~ ~ (λ ) det[λ ( 1 1 1 1 12 1 2 1 2 12 1 = − − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − = − + c c c c c c I A B K I A I A I A B K A B K K K B A A A I f I A BK λ (8.11) 因此，只有当系统完全能控时，才有可能任意配置状态反馈系统的闭环极 点。必要性得证。 充分性证明：下面只证明单输入单输出的情况。由前面的论述，若{A,b}是 能控的，则存在非奇异线性变换 x = Tx ,将{A,b}化为第一能控标准型: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 0 1 −1 0 0 1 0 1 0 n a a a A L L M O O M L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 M b 容易求得状态反馈闭环系统的特征多项式为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 1 1 f a k a k a k n n n n = + − + + − + − − λ λ − λ L λ (8.12) 设闭环系统的期望极点为 λ λ λ n , , 1 , 2 L ，则系统的期望特征多项 式为 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 n f λ = λ − λ λ − λ λ − λ ∗ L (8.13) * 0 * 1 * 1 a 1 a a n n n = + + + + − λ − λ L λ 要使闭环系统的极点取期望值，只须令 ( ) ( ) * f λ = f λ 14) 比较上式两边系数得： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = − = − − * 1 1 * 1 2 1 * 0 1 0 n n a n a k a k a a k a L 因此 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − = − − − * 1 1 * 2 1 1 * 1 0 0 n a n a n k k a a k a a L （8.15） 从而得到对于状态 x 下的状态反馈增益阵为 [ ] ∗ − − ∗ ∗ = 0 − 0 1 − 1 n 1 − n 1 K a a a a L a a （8.16） 上式表明，总存在状态反馈增益矩阵，使系统具有给定的期望特征多项式。充 分性得证。 注意，用输出反馈不能保证能够任意配置系统的极点。 若系统{ 不是状态完全能控，则状态反馈系统的一部分闭环极点就是 对象不能控部分的极点，这部分极点是不能被配置的。显然，如果不能控的极 点全部是稳定极点，则可以采用状态反馈使能控部分的极点配置到期望值，从 A,B,C} 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所